数表规律知识框架一、数列的定义按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n个数称为第n项。根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。 2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律； 3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题二、等差数列的定义 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 首项：一个数列的第一项，通常用表示末项：一个数列的最后一项，通常用表示，它也可表示数列的第项。项数：一个数列全部项的个数，通常用来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用来表示；和 ：一个数列的前项的和，常用来表示 三、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式 通项公式：递增数列：末项首项(项数)公差，递减数列：末项首项(项数)公差，回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手同时还可延伸出来这样一个有用的公式：， 项数公式：项数(末项首项)公差+1 由通项公式可以得到： (若)； (若)找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有项，每组3个数，所以共组，原数列有15组 当然还可以有其他的配组方法 求和公式：和=(首项末项)项数2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) (思路2)这道题目，还可以这样理解： 即，和(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数譬如： ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于； ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！例题精讲一、 简单数列规律【例 1】 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字.【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】 这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第5行中的括号内填20，第6行中的括号内填 24。【答案】20 ， 24【巩固】 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题： 这个三角阵的排列有何规律？ 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。 推断第20行的各数之和是多少？【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=33。根据由得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1。要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。至此，我们可以推断，第20行各数之和为219。本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用【答案】三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和； 第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1；219。【例 2】 将自然数中的偶数2，4，6，8，10按下表排成5列，问2000出现在哪一列？【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】方法1：考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而10008125，即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的A列。方法2：仔细观察数表，可以发现：A列中的数都是16的倍数，B列中数除以16余2或者14，C列中的数除以16余4或12，D列的数除以16余6或10，E列中的数除以16余8.这就是说，数表中数的排列与除以16所得的余数有关，我们只要考察2000除以16所得的余数就可以了，因为200016=125，所以 2000位于A列。学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法.一道题做完了，我们还应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要考察的问题是什么这样学习才能举一反三，不断进步。【答案】2000位于数表中的第250行的A列。【巩固】 按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？ 1993呢？【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】方法1：同例3的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只有8个数。 （1500-9）81863（19939）8248所以，1500位于第188组的第3个数，1993位于第249组的最后一个数，即1500位于第列，1993位于第列。方法2：考虑除以8所得的余数.第列除以8余1，第列除以8余2或是8的倍数，第列除以8余3或7，第列除以8余4或6，第列除以8余5；而15008=1874，19938=2491，则1993位于第列，1500位于第列。【答案】1500位于第列，1993位于第列【例 3】 下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列？【考点】等差数列的基本认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】1993 =1992 + 1，其中1992 是6的倍数，所以1993与1相同，位于B列【答案】1993位于B列。【巩固】 从1开始的自然数如下排列，则第2行中的第7个数是多少？【考点】等差数列的基本认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】第2行的第7个数为30. 参看下表：【答案】30【例 4】 把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图则在以开头的行中，第2008个数是多少 【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：2008行第一个数字为2008行最后一个数字为所以，2008行中间的数字为方法二：观察以1开头的行的数列：1，3，7，13得出规律，后一个数比前一个数多2，4，6所以，第2008个数为【答案】【巩固】 将自然数按下图的方式排列，求第10行的第一个数字是几？【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 将图中数字按顺时针方向转，成为下图的样子： 那么在第10行的第1个数之前共有9行数，计算出这9行共有多少数字，就可以知道第10行的第一个数是多少前9行共有数字（个），所以第10行的第1数是46【答案】【例 5】 自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？ 【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 从两个方面考虑： 先看组成这张表的数：1，3，5，7，9，这是一个公差为2的等差数列第60行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数 从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7，第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数59行所排数的个数就是1，3，5，7，中的第59项所以，第59行所用数的个数为： (个)，从第一行排到第59行所用数的总个数为： (个)，到第60行第5数共用去数的个数为： (个)，第60行第5个数是数列1，3，5，7，中第3486项，为：【答案】【例 6】 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出： 197排在第几行的第几个数？ 13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 43 45 47 49 【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 197是奇数中的第99个数.数表中，第1行有1个数.第2行有3个数.第3行有5个数第几行有2行数-l个数因此，前n行中共有奇数的个数为：1+3+5+7+（2行数-1）=1+（2行数-1）行数2=行数行数因为99991010.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数。【答案】第10行第18个数【巩固】 将自然数按下面的形式排列问：第10行最左边的数是几？第10行所有数的和是多少？【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 第10行最左边的数是82，最右边的数是100，第10行所有数的和【答案】【例 7】 对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换如对18和42可作这样的连续变换：18，4218,2418,612,66,6直到两数相同为止问：对1234和4321作这样的连续变换最后得