. . . . .2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1（5分）（2015湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A1+iB1iC1+iD1i考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值解答：解：已知=1+i（i为虚数单位），z=1i，故选：D点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题2（5分）（2015湖南）设A、B是两个集合，则“AB=A”是“AB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：集合；简易逻辑分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可解答：解：A、B是两个集合，则“AB=A”可得“AB”，“AB”，可得“AB=A”所以A、B是两个集合，则“AB=A”是“AB”的充要条件故选：C点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用3（5分）（2015湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）ABCD考点：程序框图菁优网版权所有分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=故选：B点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4（5分）（2015湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3xy的最小值为（）A7B1C1D2考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，1）由解得A（2，1），由，解得B（1，1）z=3xy的最小值为3（2）1=7故选：A点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题易错点是图形中的B点5（5分）（2015湖南）设函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），则f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可解答：解：函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），函数的定义域为（1，1），函数f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x），所以函数是奇函数排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，显然f（0）f（），函数是增函数，所以B错误，A正确故选：A点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力6（5分）（2015湖南）已知（）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）ABC6D6考点：二项式定理的应用菁优网版权所有专题：二项式定理分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=；展开式中含x的项的系数为30，r=1，并且，解得a=6故选：D点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具7（5分）（2015湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若XN=（，a2），则P（X+）=0.6826p（2X+2）=0.9544A2386B2718C3413D4772考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计分析：求出P（0X1）=0.6826=0.3413，即可得出结论解答：解：由题意P（0X1）=0.6826=0.3413，落入阴影部分点的个数的估计值为100000.3413=3413，故选：C点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题8（5分）（2015湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则|的最大值为（）A6B7C8D9考点：圆的切线方程菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆分析：由题意，AC为直径，所以|=|2+|=|4+|B为（1，0）时，|4+|7，即可得出结论解答：解：由题意，AC为直径，所以|=|2+|=|4+|所以B为（1，0）时，|4+|7所以|的最大值为7故选：B点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础9（5分）（2015湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可解答：解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为，函数的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（22）=1，此时=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（22）=1，此时=，满足题意故选：D点评：本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答10（5分）（2015湖南） 某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）ABCD考点：简单空间图形的三视图菁优网版权所有专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计分析：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1），0x2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即解答：解：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，V=2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，此长方体底面边长为n的正方形，高为x，根据轴截面图得出：=，解得；n=（1），0x2，长方体的体积=2（1）2x，=x24x+2，=x24x+2=0，x=，x=2，可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，最大值=2（1）2=，原工件材料的利用率为=，故选：A点评：本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2015湖南）（x1）dx=0考点：定积分菁优网版权所有专题：导数的概念及应用分析：求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值解答：解：（x1）dx=（x）|=0；故答案为：0点评：本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数12（5分）（2015湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是4考点：茎叶图菁优网版权所有专题：概率与统计分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论解答：解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间139，151上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间139，151上的运动员应抽取7=4（人）故答案为：4点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目13（5分）（2015湖南）设F是双曲线C：=1的一个焦点若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设F（c，0），P（m，n），（m0），设PF的中点为M（0，b），即有m=c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到解答：解：设F（c，0），P（m，n），（m0），设PF的中点为M（0，b），即有m=c，n=2b，将点（c，2b）代入双曲线方程可得，=1，可得e2=5，解得e=故答案为：点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题14（5分）（2015湖南）设Sn为等比数列an的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an=3n1考点：等差数列与等比数列的综合菁优