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陕西省汉中市2019届高三第一次检测考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A.B.C.D.2.在区间内随机取一个实数,则满足的概率为( )A.B.C.D.3.已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为( )A.B.C.D.4.命题:复数对应的点在第二象限,命题:,使得,则下列命题中为真命题的是( )A.B.C.D.5.函数的部分图象如图所示,则向量与的数量积为( )A.B.5C.2D.66.若满足约束条件,则的最大值为( )A.4B.8C.2D.67.已知,(其中为自然对数的底数),函数,则等于( )A.4B.C.D.8.我国有一道古典数学名著两鼠穿墙:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙(连线与墙面垂直),大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺,如图是源于该题思想的一个程序框图,则输出的( )A.3B.4C.5D.69.已知表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,则有下面四个命题:若,则;若,则;若,则;若,则.其中所有正确的命题是( )A.B.C.D.10.已知函数,则下列结论不正确的是( )A.最大值为2 B.把函数的图象向右平移个单位长度就得到的图像C.最小正周期为D.单调递增区间是,11.在中,角的对边分别是,若角成等差数列,且直线平分圆的周长,则面积的最大值为( )A. B. C.2 D.12.已知定义在上的奇函数满足,当时,则函数在区间上所有零点之和为( )A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,若,则实数_.14.在中,若,且,则_.15.展开式中的常数项为_.(用数字作答)16.在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则实数的最大值是_.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生依据要求作答.17.在中,角的对边分别是,且.(1)求角的大小;(2)已知公差为的等差数列中,且成等比数列,记,求数列的前项和.18.在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频数统计表如下:表一:男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二:女生女生等级优秀合格尚待改进频数153(1)求,的值;(2)从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈,记其中抽取的女生人数为,求随机变量的分布列及数学期望;(3)由表中统计数据填写列联表,并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式:,其中.参考数据:0.010.050.01 2.7063.8416.63519.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,分别为中点,且,.(1)平面;(2)若为线段上一点,且平面,求的值;(3)求二面角的大小.20.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,且椭圆的离心率为,过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在实数使以线段为直径的圆经过点,若存在,求出实数的值;若不存在说明理由.21.已知函数.(1)若是函数的一个极值点,求实数的值;(2)讨论函数的单调性.(3)若对于任意的,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为:.(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;(2)设和交点为,求的面积.23.选修4-5:不等式选讲已知函数,.(1)若,解不等式;(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.陕西省汉中市2019届高三上学期教学质量第一次检测考试数学(理)试题参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12:二、填空题13.1 14. 15.24 16. 三、解答题17.解:(1)由正弦定理可得,从而可得,即又为三角形的内角,所以,于是又为三角形的内角,所以.(2)因为,且成等比数列,所以,且 所以,且,解得所以,所以所以.18.解:(1)设从高一年级男生中抽取人,则 解得,则从女生中抽取20人所以,.(2) 表一、二中所有尚待改进的学生共7人,其中女生有2人,则的所有可能的取值为0,1,2.,.则随机变量的概率分布列为: 012 所以数学期望为.(3)列联表如下:男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045,因为,所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.19.解:(1)证明:连结 ,为的中点,且,又,是中点,由已知,且是平面内两条相交直线平面. (2)连接,由已知底面为直角梯形,则四边形为平行四边形所以因为平面,平面,平面平面,所以所以因为为中点,所以为中点所以,又因为点为的中点.所以.(3)取的中点连结,由(1)知,且,如图,建立空间直角坐标系.因为所以,由于平面,所以平面的法向量设平面的法向量,则有即令,则,即由题知二面角为锐二面角所以二面角的大小为.20.解:(1)抛物线的焦点是,又椭圆的离心率为,即,则故椭圆的方程为.(2)由题意得直线的方程为由消去得.由,解得.又,.设,则,.,若存在使以线段为直径的圆经过点,则必有,即,解得.又,.即存在使以线段为直径的圆经过点.21.解:(1)因为是函数的一个极值点,所以,解得.(2)因为的定义域是,当时,列表+-+增减增在,单调递增;在单调递减.当时,在单调递增.当时,列表+-+增减增在,单调递增;在单调递减.(3)由(2)可知当时,在单调递增,所以在单调递增.所以对于任意的的最大值为,要使不等式在上恒成立,须,记,因为,所以在上递增,的最大值为,所以.故的取值范围为.22.解:(1)曲线的参数方程为(为参数),即平方相加得的普通方程为:(或),代入直线的极坐标方程得的直角坐标方程.(2)由(1)知是以为圆心,为2半径的圆,且直线过圆心,又由于原点到直线的距离为则的面积为.23.解:(1)当时原不等式可化为两端平方得化简得解得则不等式的解集为.(2)对任意恒成立,即对任意恒成立,即又因为则,解得则实数的取值范围为.
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