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民族中学2018-2019学年第二学期第一次月考高一数学试题第I卷(选择题60分)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.在锐角ABC中,角A、B所对的边长分别为a、b. 若2asinB3b,则角A等于()A12 B6 C4 D32.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B2A,a1,b3,则c等于()A 23 B 2 C2 D 13.已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b22a2ac2c2,则sinB等于()A B C D4.已知等差数列an的公差为d(d0),且a3a6a10a1332,若am8,则m为()A 12 B 8 C 6 D 45.如图,ADC是等边三角形,ABC是等腰直角三角形,ACB90,BD与AC交于E点若AB2,则AE的长为()A62 B12(62) C62 D12(62)6.已知ABC的三边长为a3,b4,c,则ABC的最大内角为()A 120 B 90 C 150 D 607.数列an的通项公式为an3n228n,则数列an各项中最小项是()A 第4项 B 第5项 C 第6项 D 第7项8.在数列an中,a12,an1anln,则an等于()A 2lnn B 2(n1)lnn C 2nlnn D 1nlnn9.等比数列an各项均为正数,且a1,a3,a2成等差数列,则()A B C D 或10.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A 240(31) m B 180(21) m C 120(31) m D 30(31) m11.一个等差数列的项数为2n,若a1a3a2n190,a2a4a2n72,且a1a2n33,则该数列的公差是()A 3 B 3 C 2 D 112.已知等比数列an满足an0,n1,2,且a5a2n522n(n3),则当n1时,log2a1log2a3log2a2n1的值为()An(2n1) B (n1)2 Cn2 D (n1)2第II卷(非选择题90分)二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2b20,0),x0,4的图象,且图象的最高点为S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定MNP120.(1)求A、的值和M,P两点间的距离(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?20. (12分)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式;(2)数列bn的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列21. (10分)某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6 000元的电脑商店规定,购买时先支付货款的,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息已知欠款的月利率为0.5%,到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元?假设货主每月还商店a元,写出在第i(i1,2,36)个月末还款后,货主对商店欠款数的表达式22. (12分)已知数列an中,a15且an2an12n1 (n2且nN*)(1)求a2,a3的值;(2)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由(3)求通项公式an.答案1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.A 7.B 8.A 9.C 10.C 11.B 12.C13. 14.7 15.20 16.(1)n117.解a+basinBsinB-sinA,a+babb-a,b2a2ab.cos(AB)cosC1cos 2C,cos(AB)cos(AB)2sin2C.cosAcosBsinAsinBcosAcosBsinAsinB2sin2C.2sinAsinB2sin2C.sinAsinBsin2C.abc2.b2a2c2,即a2c2b2.ABC为直角三角形(2)由(1)知ABC中,B2,AC2,sinCcosA.a+cbsinA+sinCsinBsinA+sinCsin2sinAcosA,a+cb2sin(A4)0A2,4A434.22sin(A4)1.12sin(A4)2,即a+cb的取值范围为(1,218. 解(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.因为a37,a5a726,所以解得所以an32(n1)2n1,Sn3n2n22n.所以,an2n1,Snn22n.(2)由(1)知an2n1,所以bn,所以Tn(1)(1),即数列bn的前n项和Tn.19.解(1)如图,连接MP,依题意,有A23,T43,又T2,6,y23sin6x.当x4时,y23sin233,M(4,3)又P(8,0),MP42+325.(2)在MNP中,MNP120,MP5.设PMN,则060,由正弦定理,得MPsin120NPsinMNsin(60),NP1033sin,MN1033sin(60),故NPMN1033sin1033sin(60)1033(12sin32cos)1033sin(60)060,当30时,折线段赛道MNP最长,故将PMN设计为30时,折线段赛道MNP最长20. 解(1)设成等差数列的三个正数分别为ad,a,ad,依题意,得adaad15,解得a5.所以bn中的b3,b4,b5依次为7d,10,18d.依题意,有(7d)(18d)100,解得d2或d13(舍去)故bn的第3项为5,公比为2.由b3b122,即5b122,解得b1.所以bn是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn2n152n3.(2)证明数列bn的前n项和Sn52n2,即Sn52n2.所以S1,2.因此是以为首项,2为公比的等比数列21.(1) 4 020(元) ;(2)yi4 000(10.5%)ia(i1,2,36)解 (1) 因为购买电脑时,货主欠商店的货款,即6 0004 000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4 000(10.5%)4 020(元)(2)设第i个月底还款后的欠款数为yi,则有y14 000(10.5%)a,y2y1(10.5%)a(10.5%)2a(10.5%)a,y3y2(10.5%)a4 000(10.5%)3a(10.5%)2a(10.5%)a,yiyi1(10.5%)a4 000(10.5%)ia(10.5%)i1a(10.5%)i2a,由等比数列的求和公式,得yi4 000(10.5%)ia(i1,2,36)22.(1)a213,a333;(2) 存在实数1,使得数列为等差数列;(3)an(n1)2n1.解 (1)a15,a22a122113,a32a223133.(2) 假设存在实数,使得数列为等差数列设bn,由bn为等差数列,则有2b2b1b3.2,. 解得1
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