第二章 控制系统的状态空间描述 Modern Control Theory 线性系统的数学描述 状态空间描述的基本概念 v 状态、状态变量 v 状态矢量（状态向量） v 状态空间 v 状态方程 v 输出方程 v 状态空间表达式 v 状态变量结构图 本章主要内容 本 章 主 要 内 容 机理分析法列写状态空间表达式 由微分方程求状态空间表达式 系统的传递函数矩阵 系统状态方程的线性变换 v 基本知识及概念 v 状态方程的两种标准形式 对角形 约当形 v 将状态方程化为标准形式 本章主要内容 重点内容：要求熟练练掌握 n电电路、机电电系统统状态态空间间表达式的建立 （由系统统的物理机理或由微分方程推导导状 态态空间间表达式）。 n线线性变换变换 的基本性质质以及对对角和约约当标标 准型。 n传递传递 函数矩阵阵的定义义及求取（由状态态空 间间表达式）。 本章重点内容 2.1 线性系统的数学描述 系统描述中常用的基本概念 1. 系统：一些相互制约的部分所构成的整体。 典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和 控制器组成。 被控过程具有若干输入端和输出端。 2. 输入和输出： 输入-由外部施加到系统上的全部激励 输出-从外部量测到的来自系统的信息 典 型 控 制 系 统 方 框 图 执行器被控对象 传感器 控制器 控制输入 观测y控制u 被控过程 x 反馈控制 被 控 过 程 2.1 线性系统的数学描述 3. 系统数学描述的两种基本方法： 4. 松弛性: 若系统的输出 由输入 唯一确定，则称系统 在 是松弛的。 1) 系统的外部描述（输入输出描述）传递函数或高阶微分方程, 不计所有内部中间变量。 2) 系统的内部描述状态空间表达式，基于系统内部结构， 计及内部状态，是对系统的一 种完整的描述。 2.1 线性系统的数学描述 算子 5. 线性：一个松弛系统，当且仅当对任何输入 及任意常数 ， 均有 则该系统称为线性的，否则为非线性。 6. 定常性（时不变性）： 2.1 线性系统的数学描述 (可加性) (齐次性) 一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数 ，均 有 则称系统是定常的，否则称为时变的。 -位移算子 定常性（时不变性） 状态和状态变量 状态向量 状态空间 状态方程 输出方程 状态空间表达式 状态变量结构图 2.2 状态空间描述的基本概念 一、状态和状态变量 1、状态：表征系统在时间域中运动的信息 和行为。 2、状态变量：足以完全表征系统运动状态 的 最小个数的一组变量。 注意：1)、状态变量的选取具有非唯一性，可用一组 数目最少的变量作为状态变量； 相互独立， 其个数等于微分方程的阶数 微分方程阶数取决于独立储能元件的个数 状态变量的个数应等于独立储能元件的个数 2)、状态变量不同于输出变量，其不一定在物 理上可量测，有时只具有数学意义。 二、状态向量（状态矢量） 若描述系统状态n状态变量用 表示，并把这些状态变量看作是向量(矢量) 的分量，则向量 称为n维状态向量，记作： 或： 三、状态空间 以状态变量 作为坐标轴所构 成的n维空间称为状态空间。 说明： 1)、系统在任一时刻的状态，在状态空间中用 一点表示。 2)、随着时间的推移，将在状态空间中描绘出 一条轨迹，称为状态轨迹。 状态空间 四、状态方程-描述输入与系统内部状态的变化 关系 描述系统状态变量与输入变量之间关系 的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方 程组(离散系统)称为状态方程。 说明：1)、状态变量的选择具有非唯一性，因此状 态方程也具有非唯一性； 2)、虽然状态方程的形式不同，但它们的本质 相同，都描述了同一个系统； 3)、不同形式的状态方程之间实际上存在着某 种线性变换关系。 五、输出方程 描述系统输出量与状态变量（输入 量）之间函数关系的代数方程 称为输出方 程。 由 系 统 任 务 确 定 或 给 定 指定 作为输出，则 ： 或 用 y 表 示 矩阵表示式为： 或 ： 六、状态空间表达式 A A ， B B ， C C ， D D 状态方程和输出方程的组合称为状态空 间表达式，亦称为动态方程。 说明：1、状态空间表达式是对系统动态行为的完 全 的描述，因为它既表征了输入对于系统内 部状 态的因果关系，又反映了内部状态对于外 部输 出的影响。 2、状态空间表达式是非唯一的，因为系统 状 态变量的选择是非唯一的。 设单输入-单输出线性定常连续系统，其状态变量为： ，则状态方程的一般形式为: 输出方程为： 状态空间 表达式 状态空间表达式写成一阶矩阵微分方程的形式 为 : 简记为 ： 系统矩 阵或系 数矩阵: 表示系 统内部 状态的 联系， 为 方阵 输输 出 矩 阵阵 输入矩 阵或控 制矩阵 ，为输 入对状 态的作 用， 的列阵 n 维 状 态 变 量 对于一个具有 个输入 个输出的复杂系统，其 状态方程为: 输出方程的一般形式为： 多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量形式为： 可简写为： 系统矩 阵或系 数矩阵: 表示系 统内部 状态的 联系， 为 方阵 n维 状态 变量 输 出 矩 阵 m 维 输 出 向 量 输入 矩阵 r维 输入 向量 （控 制向 量 ） 直接 转移 矩阵 (关联 矩阵 ) 线性时不变系统模型： 线性时变系统模型： 线性定常离散系统 模型： 七、状态变量结构图 + + + + 讨论：1、状态变量的独立性。 2、由于状态变量的选取不唯一，因 此状态方程、输出方程、动态方程也都不 唯一。但是，用独立变量所描述的系统的 维数(阶数)应该是唯一的，与状态变量的 选取方法无关。 3、动态方程对于系统的描述是充分 的和完整的，即系统中的任何一个变量均 可用状态方程和输出方程来描述。 x3 x3 例2.1、 试分别确定下图（a）、（b）所示电路的独立状态变 量。 图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y为输出电 压，xi为电容器电压或电感器电流。 （a） （b） 因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用 其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际 上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。 对图（b），x1 = x2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的 ，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一组变量如（x2，x3）作 为状态变量。 解：并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。 对图（a），不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有 x3 列写状态空间表达式（ 机理分析法） (1)、根据具体系统结构及其研究目的，选择一 定的物理量作为系统的状态变量； (2)、 根据对象或环节所遵循的物理或化学定律 ，列写出描述变化过程的原始方程； (3)、列出矩阵微分方程形式的状态空间表达式。 2.3 机理分析法建立状态空间表达式 几个不同系统状态方程的列写 示例： 例2.2、电路系统状态空间表达式的列写示例 求图示RLC回路的状态空间表达式。 独立储能元件(2个)： 电容C 和电感 L 可用二阶微分方程式描述该系统 以 和 作为该系统的两个状态变量： 设状态变量 ，则该系统的状态方程为: 写成向量矩阵形式为: 简记为: 即 ： 若改选 和 作为两个状态变量，令: 则该系统的状态方程为: 状态 变量 选取 的不 同， 状态 方程 也不 同 指定 作为输出，则 ： 或 用 y 表 示 输出方程的矩阵表示式为： 或 ： 例2.3、力学系统状态空间表达式的列写示例 机械运动系统如下图所示， M为物体的质量，K 为弹簧系数，B为阻尼器的阻尼系数，f为外加的 力，y为受力后物体的位移，v为物体的运动速度 。 试以外力f为输入、位移y为输出，写出该机械系 统的状态空间表达式。 K M B y f 弹簧质量阻尼器系统 解：设 , , ,则有 根据牛顿第二定律 可写出该系统的运动方程： 弹簧质量阻尼器系统 K M B y 可得状态空间表达式为 ： 状态方程 输出方程 例2.4、倒立摆装置 长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量 为 M的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控 制力 u，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的 状 态空间表达式。 设小车瞬时位置为 摆心瞬时位置为 在水平方向，由牛顿第二定律 即： 在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡 即: 则有： 联立求解： 选取状态变量： 2.4 由微分方程求状态空间表达式 经典控制论：输入、输出变量间的高阶微分方程 描 述系统 现代控制论：输入、状态、输出变量间的一阶微 分 方程组描述系统 提出问题：需选取合适的状态变量，推导出状态 空 间表达式，保持原输入输出关系不变 。 2.4 由微分方程求状态空间表达式 1）输入变量没有导数项的情形 lSISO线性定常连续系统微分方程的一般形式 为 l第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择n 个状态变量 令 n第二步：求一次导数，并代入原微分方程，有 n第三步：将方程组表示为向量-矩阵形式 其中， 这样的A阵 又称友矩阵 n例2.5 已知系统的输入输出微分方程为 试列写其状态空间表达式。 解：取状态变量 可得 写成矩阵形式 2）系统输入量中含有导数项的情形 SISO线性定常连续系统的微分方程一般形式为： 一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n 。 为避免在状态方程中出现u的导数项，可选择如下一 组状态变量。 设 ，选取： n 是n个待定系数 即 ： 得到 将求出的 代入上式， 可得： 由已知系统 微分方程 继续将上式代入前面求得的： 可得 合显然，若理选择系数 ，可使得 上式中u的各阶导数项的系数都等于0 即可解得： 令上式中u的系数为 ，则： 最后可得系统的状态方程： 可写成向量-矩阵的形式： 即： 又 状态变量结构图 n例2.6 已知系统的输入输出微分方程为 试列写其状态空间表达式 解：由微分方程系数知 首先求 n直接写出状态空间表达式 另：对输入项含