条件概率与独立事件 2.2.1 条件概率 2.2.2事件的独立性 2.2.3独立重复试验与二项分布 1.条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事 件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件 概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率 . 一、条件概率 2.事件的交（积）:由事件A和事件B同时发 生所构成的事件D，称为事件A与事件B的交 （或积）.记作D=AB或D=AB 3.条件概率计算公式 : P(B|A)相当于把A看作新的基本事件空间,求发生 的概率: 例1、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不 放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二 个又取到次品的概率. 解：设 A = 第一个取到次品， B = 第二个取到次品， P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9. 例2.盒中有球如表. 任取一球 若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率. 变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率. 16 6 10 总计总计 5 11 2 3 4 7 红红 蓝蓝 总计总计玻璃 木质质 A:取得是蓝球,B:取得是玻璃球 例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品 ，规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它 是一等品的概率 解设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品， （2）方法1： 方法2： 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 7095 5 答：略 例4.把一副不含大小王的扑克牌的52张随机均 分给赵、钱、孙、李四家，A=赵家得到6张草 花，B=孙家得到3张草花，（1）求P(B|A)； （2）求P(AB). 0.278; 解：依题可知 答：略. 练习：某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到 25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25 岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即20)，B表示“活到25岁” (即25) 则 所求概率为 0.560.7 5 条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理. 由此得： P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) P(AB|C)； 若 A 与 B 是两个互斥事件，则 P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) ； P( |B) = 1 P(A|B). P(|B) = 1 ; P(B|) 1 ; P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1. 1中国福利彩票，是由01、02、03、30、 31这31个数字组成的，买彩票时可以在这31个 数字中任意选择其中的7个，如果与计算机随机 摇出的7个数字都一样（不考虑顺序），则获一 等奖。 （1）如果在甲中一等奖后乙去买彩票，则也 中一等奖的概率为多少？ （2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票 ，则乙中一等奖的概率为多少？ 2一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。 （1）若第1次取出的球不放回去，求事件B发生 的概率； （2）若第1次取出的球仍放回去，求事件B发 生的概率。 如果事件A发生，则 如果事件A不发生，则P（B）= 如果事件A发生，则P（B）= ； 如果事件A不发生，则P（B）= 3.A：表示取出的牌是“Q”；B：表示取出的牌是红桃。 则称A，B相互独立 B发生时A发生的条件概率A发生的概率 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件 相互独立事件 说明（1）判断两事件A、B是否为相互独立事件，关 键是看A（或B）发生与否对B（或A）发生的概率是 否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立. （2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相 互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的 概率没影响. （3）如果A、B是相互独立事件，则A与B、A与B、 A与B也都相互独立. 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积。则有 相互独立的两个事件A、B，又同时发生，此时记这样 的为AB（或AB），也叫作积事件. 相互独立事件同时发生的概率公式 说明（1）使用时，注意使用的前提条件； （2）此公式可作为判断事件是否相互独立的理论 依据，即P(AB)=P(A) P(B)是A、B相互独立的充 要条件. 相互独立事件同时发生的概念 对于n个随机事件A1，A2，An，有 P（A1+A2+An）=1-P（A1A2An) 概率的和与积的互补公式 推广：如果事件A1，A2，An相互独立，那么 这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生 的概率的积。即： P（A1A2An）=P（A1）P（A2）P(An) 例1、判断下列各对事件是互斥事件还是相互独 立事件. （1）运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环 ”； （2）甲乙两运动员各射击1次，“甲中10环”与“ 乙中9环”； （3）甲乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中 目标”与“甲、乙都没有射中目标”； （4）甲乙两运动员各射击1次，“至少有一人射 中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”； 答案：互斥事件 答案：相互独立事件 答案：互斥事件 答案：均不是 例2、已知事件A、B发生的概率都大于零，则 下列选项中正确的是： （1）如果A、B是互斥事件，那么A与B也互斥 ； （2）如果A、B不是相互独立事件，那么A与B 一定是互斥事件； （3）如果A、B是相互独立事件，那么A与B一 定不是互斥事件； （4）如果A+B是必然事件，那么A、B一定是 对立事件； （3）如果A、B是相互独立事件，那么A与B一 定不是互斥事件； 例3：一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不 放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的 颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A ，“第二个取出的是白球”为事件B，试问A与B 是不是相互独立事件？ 答：不是，因为件A发生时（即第一个取到白球），事 件B的概率P（B）=1/3，而当事件A不发生时（即第一 个取到的是黑球），事件B发生的概率P（B）=2/3，也 就是说，事件A发生与否影响到事件B发生的概率，所 以A与B不是相互独立事件。 例4：制造一种零件，甲机床的正品率是09，乙机床 的正品率是095，从它们制造的产品中各任抽一件， （1）两件都是正品的概率是多少？ （2）恰有一件是正品的概率是多少？ 解：设A=从甲机床制造的产品中任意抽出一件是正品 ；B=从乙机床制造的产品中任意抽出一件是正品，则A 与B是独立事件 P(AB)=P(A)P(B)=0.90.95=0.855 P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.9(1-0.95)+(1-0.9)0.95 =0.14 答：两件都是正品的概率是0855；恰有一件是正品 概率是0.14. 另解：1-P(AB)-P(AB)=1-0.855(10.95)(1-0.9) =0.14 例5：有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7，在 两批种子中各取一粒，A=由甲批中取出一个能发芽的种 子，B=由乙批中抽出一个能发芽的种子，问是否互相 独立？两粒种子都能发芽的概率？至少有一粒种子 发芽的概率？恰好有一粒种子发芽的概率？ 解：A、B两事件不互斥，是互相独立事件 AB=两粒种子都能发芽 P(AB)=P(A)P(B)=0.80.7=0.56 1P(AB)=1- P(A)P(B) P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)0.7=0.38 答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38 =1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94 例6、有4名学生参加体育达标测验，4人 各自合格的概率分别是1/3，1/4，1/5，1/6 ，求以下的概率： （1）四人中至少有二人合格的概率； （2）四人中恰好只有二人合格的概率。 例7.某公司购进光盘甲、乙、丙三件，每件 100盒，其中每件里面都有1盒盗版光盘。这 个公司从这3件光盘里面各取1盒光盘卖给了 王二，求： （1）王二恰好买到1盒盗版光盘的概率； （2）王二至少买到1盒盗版光盘的概率. 练习1、甲乙两射手独立射击同一目标，若他们 各射击一次，命中目标的概率分别为0.9和0.8， 求（1）两人都击中目标的概率；（2）恰有1人 击中的概率；（3）目标被击中的概率. 练习2、一线路中并联3个自控的常开开关，只 要其中1个能闭合，线路就能正常工作，假定在 某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7， 计算这段时间内各线路正常工作的概率. 练习3、甲厂生产的脱粒机，每台连续使用不少 于10年的概率是2/5，乙厂生产的柴油机，每台 连续使用不少于10年的概率是3/5，将一台脱粒 机与一台柴油机配套使用，求下列各事件的概率 ： （1）A（脱粒机与柴油机的连续使用期都不少 于10年）； （2）B（只有脱粒机的连续使用期不少于10年 ； （3）C（至少有一台机器的连续使用期不少于 10年.