湖南大学电气与信息工程学院 数值计算课程 上机实验报告姓名：林国斌 班级：电自八班 学号：20110701805日期：2013-5-1指导老师：路晓庆本次实验题号：第 2 次实验一. 实验目的学习使用 Guass 消去法和迭代法求解线性方程组 二. 实验内容1.矩阵的运算2.线性方程组数值求解用 Guass 消去法和迭代法求解下列线性方程组：31+22+3=3921+32+3=341+22+33=26三. 算法介绍或方法基础3.1 Jacobi迭 代 公 式上 上 上 上 AX=b , 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上Jacobi上 上 上 上 上 上11,0(1,2,)(),nijiij niiijjixbainxi 上 上 上 上 上 上 上 上 Jacobi 上 上 上 上 ：(1) 1,()(1,2,)nk ki i ijjjixbxina3.2 高 斯 -塞 德 尔 迭 代 法 (AX=b)(1)(1)(1)2,kkkixx()()()121,kki上 上 上 上 Jacobi上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上上 上 1(1) (1)1( )(1,2,)i nk kki ij ijj jiixbaxaxina 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 ,上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上上 上 上 上 Gauss-Seidel 上 上 上 .四. 程序1.矩阵的乘法 a=1 2;3 4; b=5 5;7 8; a2*b2.矩阵的除法 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9; b=1 0 0;0 2 0;0 0 3; ab a/b3.使用冒号选出指定的元素 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9; a(1:2,3) a(2:3,:)4. 线性方程组数值求解（1）Guass 消去法clear;clc;%这个程序可适用于求解任何符合条件 n 元一次方程组A=input(请输入系数方阵 A=);m,n=size(A);while m=n | det(A)=0A=input(请输入系数方阵且 det(A)=0 A=);endB=input(请输入列向量 B=);c=A B;disp(合并后的增广矩阵为);cdisp(开始进行列主元消元法);for i=1:m-1for k=i+1:mif c(k,i)c(i,i)|-c(k,i)c(i,i)b=c(k,:);c(k,:)=c(i,:);c(i,:)=b;endendcfor j=i+1:mc(j,:)=c(j,:)-c(j,i)/c(i,i)*c(i,:);endenddisp(消元后的矩阵 C);cA=c(:,1:m)B=c(:,m+1)x=;sum=0;x(m)=B(m)/A(m,m);disp(开始回代);for i=m-1:-1:1for j=i+1:msum=sum+A(i,j)*x(j);endx(i)=(B(i)-sum)/A(i,i);sum=0;enddisp(方程的解 x1 x2 x3 .xm)x（2）迭代法clear;clc;% A=-0.1 -0.2;-0.1 -0.2;-0.2 -0.2;%课本上 jacobi 迭代法 P41 的例子% B=0.72;0.83;0.84;A=2/3 1/3;2/3 1/3;1/3 2/3;%第二次试验的方程组B=39/3;34/3;26/3;c=;d=;e=;x=zeros(1,3);y=zeros(1,3);y(1)=B(1)-A(1,1)*x(2)-A(1,2)*x(3);y(2)=B(2)-A(2,1)*x(1)-A(2,2)*x(3);y(3)=B(3)-A(3,1)*x(1)-A(3,2)*x(2);c=c;y(1);d=d;y(2);e=e;y(3);while i0.001&abs(x(2)-y(2)0.001&abs(x(3)-y(3)0.001x=y;%xy(1)=B(1)-A(1,1)*x(2)-A(1,2)*x(3);c=c;y(1);y(2)=B(2)-A(2,1)*x(1)-A(2,2)*x(3);d=d;y(2);y(3)=B(3)-A(3,1)*x(1)-A(3,2)*x(2);e=e;y(3);i=i+1;endplot(c,-r);hold on;plot(d,-k);plot(e,-b);hold offlegend(x1,x2,x3,Location,NorthWest);五. 实验结果1.ans =105 115229 2512. Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018.警告：矩阵接近奇异，即 det(Matrix)接近 0，解方程组得到的结果可能不正确。RCOND 是条件数的倒数，RCOND 越小，其越接近奇异！ans = 1.0e+016 *-0.45035996273705 1.80143985094820 -1.351079888211150.90071992547410 -3.60287970189640 2.70215977642230-0.45035996273705 1.80143985094820 -1.35107988821115ans =1.00000000000000 1.00000000000000 1.000000000000004.00000000000000 2.50000000000000 2.000000000000007.00000000000000 4.00000000000000 3.000000000000003.ans =36ans =4 5 67 8 94（1）Guass 消去法请输入系数方阵 A=3 2 1;2 3 1;1 2 3请输入列向量 B=39;34;26合并后的增广矩阵为c =3 2 1 392 3 1 341 2 3 26开始进行列主元消元法c = 3 2 1 392 3 1 341 2 3 26c =3.00000000000000 2.00000000000000 1.00000000000000 39.000000000000000 1.66666666666667 0.33333333333333 8.000000000000000 1.33333333333333 2.66666666666667 13.00000000000000消元后的矩阵 Cc =3.00000000000000 2.00000000000000 1.00000000000000 39.000000000000000 1.66666666666667 0.33333333333333 8.000000000000000 0 2.40000000000000 6.60000000000000A =3.00000000000000 2.00000000000000 1.000000000000000 1.66666666666667 0.333333333333330 0 2.40000000000000B =39.000000000000008.000000000000006.60000000000000开始回代方程的解 x1 x2 x3 .xmx =9.25000000000000 4.25000000000000 2.75000000000000（2）迭代法x1 x2 x3 的结果如下图所示六. 结果分析与解释由于采用迭代法的前提是迭代公式 x(k+1)=Bx(k)+f 是收敛的，也就是矩阵B 的谱半径应该小于 1，而事实上此实验题目的矩阵 B 的谱半径=1，故第二次实验课的题目采用迭代法是不收敛的。但是，采用 GaussSeidel 迭代法时的矩阵 B 的谱半径小于 1，是收敛的。因此收敛的条件是矩阵 B 的谱半径小于 1.