4.7 正弦定理、余弦定理 考纲纲要求 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些 简单简单 的三角形度量问题问题 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或 “”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比( ) (2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.( ) (3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他 元素( ) (4)当b2c2a20时时，三角形ABC为锐为锐 角三角形；当b2 c2a20时时，三角形为为直角三角形；当b2c2a20时时，三 角形为钝为钝 角三角形( ) (5)在三角形中，已知两边边和一角就能求三角形的面积积 ( ) 【答案】 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】 C 【答案】 B 【答案】 1 【答案】 (1)B (2)D (3)1 【方法规律】 (1)判断三角形解的个数的两种方法 代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、 正弦函数的值域等判断 几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解 的个数 (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用 正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理时，需判断其解的 个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解 的个数 【答案】 (1)A (2)C 题型三 正弦、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状 【例3】 (1)(2017辽宁省实验中学分校期中)已知ABC 中，sin A(cos Bcos C)sin Bsin C，则这则这 个三角形是 ( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D以上都不对对 (2)(2016贵州贵阳一中第四次月考)如果把直角三角形的 三边边都增加同样样的长长度，则则得到的这这个新三角形的形状 为为( ) A锐锐角三角形 B直角三角形 C钝钝角三角形 D由增加的长长度决定 【解析】 (1)由已知等式，得sin Acos Bsin Acos C sin(AC)sin(AB)sin Acos Ccos Asin Csin Acos Bcos Asin B，所以cos A(sin Csin B)0，则cos A0 ，于是由0A，得A，所以ABC为直角三角形故 选A. (2)设增加的同样的长度为x，原三边长为a，b，c，且c2 a2b2，abc，新的三角形的三边长为ax，bx， cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2(b x)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三 角形的最大角的余弦值为正，则最大角为锐角，那么它为 锐角三角形故选A. 【答案】 (1)A (2)A 【方法规律】 (1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而 判断三角形的形状； 化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断 三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论 (2)求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 【温馨提醒】 (1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公 式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要 熟练记忆；通过审题理清解题方向； (2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确 无误，尽量简化计算过程，减少错误. 失误与防范 1在利用正弦定理解已知三角形的两边边和其中一边边的 对对角求另一边边的对对角，进进而求出其他的边边和角时时，有时时 可能出现现一解、两解，所以要进进行分类讨论类讨论 2在解三角形或判断三角形形状时时，要注意三角函数 值值的符号和角的范围围，防止出现现增解、漏解.