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第七章 图形与变换 第23讲 图形的相似,考点梳理过关,考点1 成比例线段,提示在根据平行线写成比例线段时一定注意对应关系,考点2 相似三角形 6年8考,1相似三角形,拓展(1)斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似; (2)射影定理:如图,RtABC中,ACB90,CD是斜边AB上的高则有如下的结论:CD2ADDB,BC2BDBA,AC2ADAB;ACBCABCD(可用面积来证明); (3)常见的相似图形:,2相似多边形,考点3 位似 6年1考,提示图形关于某点的位似图形有两个,典型例题运用,类型1 相似三角形的性质与判定的分析运用,【例1】2017长清区一模如图,正方形ABCD中,AB2,E为BC中点,两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN1,若ABE与以D,M,N为顶点的三角形相似,则DM为( ),D,【例2】2016达州中考如图,已知AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC,BC,过点O作ODAC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接BD并延长交AE于点F.,(1)求证:AEBCADAB; (2)若半圆O的直径为10,sinBAC ,求AF的长,思路点拨:(1)只要证明EADABC即可解决问题;(2)作DMAB于点M,利用DMAE,得 ,求出DM,BM即可解决问题,技法点拨1.在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用;2.寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;或依据基本图形对图形进行分解、组合;或作辅助线构造相似三角形;3.判定两个三角形相似的方法有时可单独使用,有时需要综合运用,无论是单独使用还是综合运用,条件必须充分,变式运用1.2017毕节中考如图,在ABCD中过点A作AEDC,垂足为E,连接BE,F为BE上一点,且AFED. (1)求证:ABFBEC; (2)若AD5,AB8,sinD ,求AF的长,解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ABCD,ADBC,ADBC. DC180,ABFBEC. AFBAFE180,DAFE, CAFB. ABFBEC. (2)AEDC,ABDC, AEDBAE90,,类型2 位似与坐标分析,【例3】 2017滨州,15,4分在平面直角坐标系中,点C,D的坐标分别为C(2,3),D(1,0),现以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上且OB2,则点C的对应点A的坐标为,(4,6)或(4,6),(4,6)或(4,6) 如图,由题意,得位似中心是原点O,位似比为2.OCAC.C(2,3),A(4,6)或(4,6),技法点拨1.位似是特殊的相似,满足相似的所有性质,因而遇到位似时可以构造相似三角形进行解决;2.当位似中心不是原点时,不可以直接把坐标乘以位似比,而是向x轴或y轴作垂线构造相似三角形解决,变式运用2.如图,ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作ABC的位似图形ABC,并把ABC的边长放大到原来的2倍设点B的对应点B的横坐标是2,则点B的横坐标是,2.5 如图,过点B,B分别作BDx轴于点D,BEx轴于点E,BDCBEC90.ABC与ABC是位似图形,点B,C,B在一条直线上,BCDBCE,BCDBCE, .又 , .又点B的横坐标是2,点C的坐标是(1,0),CE3,CD .OD .点B在第二象限,点B的横坐标为2.5.,类型3 相似三角形与点的存在性分析,【例4】如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点A在x轴负半轴上,顶点C在x轴正半轴上,顶点B在第一象限,过点B作BDy轴于点D,线段OA,OC的长是一元二次方程x212x360的两根,BC4 ,BAC45. (1)求点A,C的坐标; (2)反比例函数y 的图象经过点B,求k的值; (3)在y轴上是否存在点P,使以P,B,D为顶点的三角形与以P,O,A为顶点的三角形相似?若存在,请写出满足条件的点P的个数,并直接写出其中两个点P的坐标;若不存在,请说明理由,思路分析:(1)解一元二次方程x212x360,求出两根即可得到点A,C的坐标;(2)过点B作BEAC,垂足为E,由BAC45可知AEBE,设BEx,用勾股定理可得CE ,根据AECEOAOC,解方程求出BE,再由AEOAOE,即可求出点B的坐标,然后求出k的值;(3)分类讨论,根据相似三角形对应边成比例求出点P的坐标,失分警示1.在分析相似三角形,顶点的存在问题中,必须要根据不同的对应关系分类讨论,避免漏解.2.在分类探究中一定要画出相应的图形进行分析解决,六年真题全练,命题点1 相似三角形的分析应用,12012滨州,10,3分把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值( ) A不变 B缩小为原来的 C扩大为原来的3倍 D不能确定,A 因为ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小不变,所以锐角A的正弦函数值也不变,22017滨州,16,4分链接第18讲六年真题全练第6题 32016滨州,15,4分如图,矩形ABCD中,AB ,BC ,点E在对角线BD上,且BE1.8,连接AE并延长交DC于点F,则 .,42014滨州,15,4分如图,平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等,则 ,52012滨州,18,4分如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的两对相似三角形: BDECDF,ABFACE .(用相似符号连接),BDECDF,ABFACE (1)在BDE和CDF中,BDECDF,BEDCFD90,BDECDF.(2)在ABF和ACE中,AA,AFBAEC90,ABFACE.,62017滨州,23,10分如图,点E是ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交ABC的外接圆O于点D,连接BD,过点D作直线DM,使BDMDAC. (1)求证:直线DM是O的切线; (2)求证:DE2DFDA.,解:(1)如图所示,连接OD. 点E是ABC的内心, BADCAD., .ODBC.,又BDMDAC,DACDBC,BDMDBC. BCDM.ODDM. 直线DM是O的切线 (2)如图所示,连接BE. 点E是ABC的内心, BAECAECBD, ABECBE.,BAEABECBDCBE, 即BEDEBD.DBDE. DBFDAB,BDFADB, DBFDAB.,,即DB2DFDA. DE2DFDA.,72014滨州,25,12分如图,矩形ABCD中,AB20,BC10,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q. (1)求证:APQCDQ; (2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动,移动时间为t秒 当t为何值时,DPAC? 设SAPQSDCQy,写出y与t之间的函数解析式,并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时,y取得最小值,解:(1)证明:四边形ABCD是矩形, ABCD. 12,34.APQCDQ. (2)如图,当DPAC时,4290.又5290,45. 又ADCPAD90, ADCPAD.,给出t的部分取值,计算出y的对应值列成下表:,从表中可以看出: 当0t8时,y随t的增大而减小; 当9t20时,y随t的增大而增大 因此,y在第8秒到第9秒之间时取得最小值,82013滨州,24,10分某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示其中BACD,BC20cm,BC,EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm,8cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50cm,那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计),解:如图,过点C作CMAB,交EF,AD于点N,M,作CPAD,交EF,AD于点Q,P. 由题意,得四边形ABCM是平行四边形 ENAMBC20cm. MDADAM502030(cm) 由题意知CP40cm,PQ8cm. CQ32cm. EFAD, CNFCMD.,解得NF24cm. EFENNF202444(cm) 答:横梁EF应为44cm.,猜押预测1.如图,在直角坐标系xOy中,A(4,0),B(0,2),连结AB并延长到C,连结CO,若COBCAO,则点C的坐标为( ),猜押预测2.2017虹口区二模如图,在ABCD中,过点A作AEBC,AFDC,垂足分别为点E,F,AE,AF分别交BD于点G,H,且AGAH. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)延长AF,BC相交于点P,求证:BC2DFBP.,解:(1)证明:AGAH, AGHAHG. AGHBGE,DHFAHG, BGEDHF. AEBC于点E,AFCD于点F,BD与AE, AF分别相交于点G,H, BEGDFH. EBGFDH,即CBDCDB. BCCD. 四边形ABCD是平行四边形, 平行四边形ABCD是菱形 (2)四边形ABCD是平行四边形, ADPB,ABCD. ADHPBH,ABHFDH.,得分要领1.掌握相似三角形的性质;2.会适当添加辅助线构造相似三角形解决问题;3.熟悉特殊三角形和四边形的性质,能搜集条件证明三角形相似;4.会分类讨论,分析三角形相似时,未知顶点的存在性,命题点2 位似,92017滨州,15,4分链接第23讲典型例题运用例3.,猜押预测3.2017长沙中考如图,ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),C(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的 ,可以得到ABO,已知点B的坐标是(3,0),则点A的坐标是,(1,2) 根据位似变换的性质及位似比为 ,可知A的坐标为(1,2),得分要领1.掌握位似的性质;2.会根据位似比确定对应点的坐标;3.熟悉其它变换中,坐标的确定方法,
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