第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 第6章 无限脉冲响应滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念 数字滤波器指用运算的方法改变数字信号的频率 分量的相对比例的器件。与模拟滤波器相比，数字滤 波器的精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要 求阻抗匹配？等优点。 1. 数字滤波器的分类 从网络结构或者单位脉冲响应分类： 无限脉冲响应(IIR)滤波器 有限脉冲响应(FIR)滤波器 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 从功能上来分类： 低通滤波器 高通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 2 数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的传输函数H(ej)用下式表示： 选频滤波器的技术指标只要求幅频特性。 线性相位滤波器的技术指标则两样都要求。 图6.1.2 低通滤波器的技术要求 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 通带和阻带内都允许有衰减误差。允许的衰减用 dB数表示。通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内 允许的最小衰减用s表示。p和s分别定义为： (6.1.3) (6.1.4) 如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成 ： (6.1.5) (6.1.6) 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 3. 数字滤波器的设计方法 IIR滤波器设计方法是： 从模拟滤波器变到数字滤波器的设计， 直接在离散频域或时域中设计。 FIR滤波器的设计方法是： 窗函数法， 频率采样法。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 6.2 模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟 ，有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯 (Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、 椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些 滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设 计人员使用。 设计模拟滤波器是先设计低通滤波器，再把低通 滤波器变换为希望的滤波器。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 1.模拟低通滤波器的指标和设计方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其 中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p 是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s 的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调 下降的幅度特性，可表示成： 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 以上技术指标用低通滤波器的幅度特性图表示。图中 c称为3dB截止频率？ 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 模拟低通滤波器的设计方法是： （1）根据滤波器的技术指标设计传输函数Ha(s)的幅度 平方函数，它与系统函数有关系 上式的关系从Ha(s)的因式相乘表达式推出。 （2）根据幅度平方函数和系统的极点应该在s的左半平 面，求出传递函数。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 2. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式和图表 示。想一想阶数N与幅频特性下降坡度的关系？ 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 为了求出幅度平方函数，将|Ha(j)|2写成s的函数 ： 此幅度平方函数有2N个极点，极点 它们均匀的分布在半径为c的圆上，间隔是/N弧度 。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 例如N=3的三阶巴特沃斯滤波器，为形成稳定的滤波器 ，在6个极点中取s平面左半平面的3个极点构成Ha(s)，而右 半平面的3个极点构成Ha(-s)。三阶巴特沃斯滤波器的极点 分布如下： 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 如此可得到系统函数 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一， 将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归 一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归 一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为 (6.2.10) (6.2.11) 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 式中，pk为归一化极点，用下式表示： 这样设计巴特沃斯滤波器的步骤是： a. 根据技术指标确定阶数N， b. 求出归一化极点pk， c. 求出归一化传递函数Ha(p) ， d. 用c去归一化到实际传递函数Ha(s) 。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 从技术指标推出N和c： 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的 最小整数？。 当 阻带指标有富裕 当 通带指标有富裕 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 如果将极点代入传递函数的因式分解式，可以得 到的Ha(p)的多项式表达式。 早有科学家把两种传递函数形式的系数列成表格 ，供我们设计时查找。 参阅书上157158页。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 归纳起来，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下 ： (1)根据技术指标p、p、s和s，求出滤波器的阶数 N。 (2) 计算或者查表求出归一化传输函数Ha(p)。 (3)用p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数 Ha(s)。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰 减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减 s=30dB。请按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波 器。 解：(1) 确定阶数N。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 (2) 有两种方法。 法一：按照(6.2.12)式计算出极点 带入(6.2.11)式，得到归一化传输函数 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 法二：直接查表6.2.1的N=5，得到三种结果： 极点是-0.3090j0.9511，-0.8090j0.5878， -1.0000。 系统函数的多项式形式 系统函数的因式分解形式 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 (3) Ha(p)去归一化。先求3dB截止频率c。 如果希望阻带指标有富裕，则 将p=s/c代入Ha(p)中得到： 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 用MATLAB来设计该题，通带指标有富裕。 clear;close all; fp=5000;fs=12000;rp=2;rs=30; n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s);%求阶数和半功率点频率 b,a=butter(n,fc,s);%求系统函数的分子分母系数 hf,f=freqs(b,a);%求系统函数的频谱 plot(f,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|); axis(0,1.2e4,0,1.2);grid shg 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 3. 切比雪夫滤波器的设计方法 图6.2.5分别画出阶数N=3和N=4的切比雪夫型 滤波器幅频特性。 图6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 其幅度平方函数用A2()表示： 式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度。 愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令 =/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪 夫多项式，定义为 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性 。 由图可见： (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内； (2)当|x|1时，|CN(x)|1,在|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 平方幅度函数与三个参数、p和N有关。其中 与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹 用下式表示： 因此 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 图6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 当频率为s时，切比雪夫型滤波器的幅度平方 函数A2(s)为 由此解出 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 当频率为c时，切比雪夫型滤波器的幅度平方 函数A2(s)为1/2，由此解出 以上p、和N确定后，可以求出滤波器的极点， 并确定Ha(p)，p=s/p。求解的过程是很复杂的。下面 仅介绍一些有用的结果。 设切比雪夫滤波器Ha(s)的极点为si=i+ji，极点 的实部和虚部是 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 可以看出，极点的实部和虚部的关系是椭圆方程， 式中的psh是短半轴(在实轴上)，pch是长半轴(在 虚轴上)。因此切比雪夫滤波器的极点分布在这个椭圆 上。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 设N=3，三阶切比雪夫滤波器的极点分布如下。 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 为了稳定，用左半平面的极点构成系统函数Ha(p)，即 式中c是待定系数。根据切比雪夫滤波器的幅度平方函 数用力推导，c=2 N-1，所以归一化的传输函数为 去归一化后的传输函数为 第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 按照以上分析，设计切比雪夫型滤波器的步骤是 ： （1