8.2 简单几何体的表面积与体积,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,1.柱、锥、台和球的侧面积和体积,-3-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和 . (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形 、扇形 、扇环形 ;它们的表面积等于侧面积 与底面面积之和.,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,3.常用结论 (1)与体积有关的几个结论 一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. 底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (2)几个与球切、接有关的常用结论 正方体的棱长为a,球的半径为R, a.若球为正方体的外接球,则2R= a; b.若球为正方体的内切球,则2R=a; c.若球与正方体的各棱相切,则2R= a. 若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R= . 正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.,2,-5-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的画“”,错误的画“”. (1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2S.( ) (2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3a2.( ) (4)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120,使ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9.( ),答案,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,它的表面积为 .,答案,解析,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.已知某四棱锥,底面是边长为2的正方形,且俯视图如图所示,若该四棱锥的左视图为直角三角形,则它的体积为 .,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是 .,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为直角三角形,ACB=90,AC=4,BC=CC1=3.P是BC1上一动点,若一小虫沿其表面从点A1经过点P爬行到点C,则其爬行路程的最小值为 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.求多面体的表面积关键是找到其特征几何图形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁.求旋转体的侧面积时需要将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 2.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.,-11-,考点1,考点2,考点3,例1(2016全国甲卷,文7)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A.20 B.24 C.28 D.32 思考求几何体的表面积的关键是什么?,答案,解析,-12-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.求几何体的表面积,关键在于根据三视图还原几何体,要掌握常见几何体的三视图,并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系;有时候还可以利用外部补形法,将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体. 2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得几何体的表面积.,-13-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2016全国乙卷,文7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 则它的表面积是( ) A.17 B.18 C.20 D.28,答案,解析,-14-,考点1,考点2,考点3,例2已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) 思考求旋转体的体积的关键是什么?,答案,解析,-15-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.求旋转体体积的关键是理解所得旋转体的几何特征,确定得到计算体积所需要的几何量. 2.计算柱、锥、台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高. 3.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.,-16-,考点1,考点2,考点3,对点训练2某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ),答案,解析,-17-,考点1,考点2,考点3,考向一 直三棱柱的外接球 例3已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为( ),答案,解析,-18-,考点1,考点2,考点3,考向二 正方体的外接球 例4(2016全国甲卷,文4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ),答案,解析,-19-,考点1,考点2,考点3,考向三 正四面体的内切球 例5若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则= .,答案,解析,-20-,考点1,考点2,考点3,考向四 四棱锥的外接球 例6四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥的三视图如图所示,E,F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2 ,则该球的表面积为( ),A.9 B.3 C.2 D.12,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,解题心得解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.,-22-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36 B.64 C.144 D.256 (2)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( ),答案,解析,-23-,考点1,考点2,考点3,1.求柱体、锥体、台体与球的表面积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决. 2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面. 3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.,-24-,考点1,考点2,考点3,1.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错. 2.由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致错误. 3.易混侧面积与表面积的概念.,-25-,思想方法转化思想在立体几何计算中的应用 空间几何体的三视图与体积、表面积结合命题是高考的热点,旨在考查学生的识图、用图能力及空间想象能力与运算能力.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解.,-26-,典例如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为 .,-27-,反思提升1.利用三棱锥的“等积性”,可以把任何一个面作为三棱锥的底面. 2.求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算.,