9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系,第九章 平面解析几何,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系. 相交； 相切； 相离.,知识梳理,dr,dr,dr,相交,相离,相切,2.圆与圆的位置关系 设圆O1：(xa1)2(yb1)2 (r10)， 圆O2：(xa2)2(yb2)2 (r20).,dr1r2,dr1r2,|r1r2|dr1r2,d|r1r2|(r1r2),0d|r1r2|(r1r2),无解,一组实数解,两组不同的实数解,一组实数解,无解,1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条. (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( ) (4)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,(5)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.( ) (6)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P128T4若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是 A.3，1 B.1,3 C.3,1 D.(，31，),答案,解析,1,2,3,4,5,6,几何画板展示,3.P133A组T9圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_.,答案,得两圆公共弦所在直线为xy20.,解析,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 4.若直线l：xym0与圆C：x2y24x2y10恒有公共点，则m的取值范围是,解析 圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d ，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,5.(2018石家庄模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 A.4 B.4 C.8 D.8,解析 因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)， 所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,6.过点A(3,5)作圆O：x2y22x4y10的切线，则切线的方程为_.,解析,5x12y450或x30,答案,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解析 化圆x2y22x4y10为标准方程得(x1)2(y2)24，其圆心为(1,2)，,显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x30， 当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5k(x3)， 即kxy53k0.,故所求切线方程为5x12y450或x30.,题型分类 深度剖析,1.已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定,题型一 直线与圆的位置关系,自主演练,答案,解析 因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，,解析,所以直线与圆相交.,2.圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为 A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能,答案,解析 直线2txy22t0恒过点(1，2)， 12(2)2214(2)50， 点(1，2)在圆x2y22x4y0内， 直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交，故选C.,解析,判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.,典例 已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21外切，则ab的最大值为,题型二 圆与圆的位置关系,师生共研,解析 由圆C1与圆C2外切，,解析,答案,1.若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值.,解答,2.若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程.,解答,解 由题意把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得 圆C1：x2y22ax4ya20， 圆C2：x2y22bx4yb230， 由得(2a2b)x3b2a20， 即(2a2b)x3b2a20为所求公共弦所在直线方程.,判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|； (3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论.,解析,跟踪训练 (2017重庆调研)如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_.,答案,解析 圆C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.,命题点1 求弦长问题 典例 (2016全国)已知直线l：mxy3m 0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|2 ，则|CD|_.,题型三 直线与圆的综合问题,多维探究,解析,4,答案,解析 设AB的中点为M，,解得C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.,命题点2 直线与圆相交求参数范围 典例 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点. (1)求k的取值范围；,解答,解 由题设，可知直线l的方程为ykx1，,解答,解 设M(x1，y1)，N(x2，y2). 将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70.,所以l的方程为yx1. 故圆心C在l上，所以|MN|2.,命题点3 直线与圆相切的问题 典例 已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l1：xy40平行；,解答,解 设切线方程为xyb0，,(2)与直线l2：x2y40垂直；,解答,解 设切线方程为2xym0，,(3)过切点A(4，1).,解答,过切点A(4，1)的切线斜率为3， 过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)， 即3xy110.,直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.,跟踪训练 (1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_.,解析,答案,由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，,(2)过点P(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_.,答案,解析,x2或4x3y40,解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径，,即4x3y40. 综上，切线方程为x2或4x3y40.,高考中与圆交汇问题的求解,高频小考点,与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.,考点分析,一、与圆有关的最值问题 典例1 (1)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则 的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9,解析,答案,解析 A，B，C在圆x2y21上，且ABBC， AC为圆的直径，,解析,答案,二、直线与圆的综合问题 典例2 (1)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于,解析,答案,解析 由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴， 圆心C(2,1)在直线xay10上， 2a10，a1，A(4，1). |AC|236440.又r2，|AB|240436. |AB|6.,(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为,解析,答案,解析 AOB90，点O在圆C上. 设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离， 点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上， 当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.,课时作业,1.已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得的弦的长度为4，则实数a的值是 A.2 B.4 C.6 D.8,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,解析 将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，,故r2d24，即2a24，所以a4，故选B.,2.圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为 的点共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,解析 圆的方程可化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线的距 离 ，半径是2 ，结合图形可知有3个符合条件的点.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018福州