【成才之路】2018-2019学年高中数学 第1章 3反证法课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1反证法是()A从结论的反面出发，推出矛盾的证法B对其否命题的证明C对其逆命题的证明D分析法的证明方法答案A解析反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定原结论的真实性2否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A有一个解B有两个解C至少有三个解D至少有两个解答案C3应用反证法导出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用：结论相反判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论()ABC D答案C4“M不是N的子集”的充分必要条件是()A若xM，则xNB若xN，则xMC存在x1M且x1N，又存在x2M且x2ND存在x0M且x0N答案D解析按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素所以，要使M不是N的子集，只需存在x0M，但x0N.故选D.5“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为()A自然数a、b、c都是奇数B自然数a、b、c都是偶数C自然数a、b、c中至少有两个偶数D自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数答案D解析恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数6若a、b、c不全为零，必须且只需()Aabc0Ba、b、c中至少有一个为0Ca、b、c中只有一个是0Da、b、c中至少有一个不为0答案D解析a、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.二、填空题7某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证|f(x1)f(x2)|.那么其反设应该是_答案如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，则|f(x1)f(x2)|解析根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性这里进行假设时，注意把函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)剥离出来作为已知条件8用反证法证明命题“若p1p22(q1q2)，则关于x的方程x2p1xq10与x2p2xq20中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为_答案两个方程都没有实数根三、解答题9求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60.证明已知A、B、C为ABC的三个内角求证：A、B、C中至少有一个不小于60.证明：假设ABC的三个内角A、B、C都小于60，即A60，B60，C60，三式相加得ABC0，则三个数，()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2答案C解析假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又()()()2226，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取xyz1，可排除A、B.2(2014山东理，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根答案A解析至少有一个实根的否定为：没有实根反证法的假设为原命题的否定3设a、b、c为一个三角形的三边，S(abc)，若S22ab，试证S2aCS2a DS2a答案C解析对“0.将p两边平方，得ap2b2p，所以.因为a、b、p均为有理数，所以必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误所以必为无理数点评数学中的有些命题，所给条件不足以从正面证明结论正确，可采用反证法，否定结论，由此推出与已知或假设矛盾，证得结论8已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负实数根分析(1)可直接用定义证明单调性；(2)应用反证法要注意准确作出反设证明(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x10.ax2x11，且ax10，所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110，x210，所以0.于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0.又0ax01，所以01，即x02，与假设矛盾故x00不成立，故方程f(x)0没有负实数根点评本题第(2)问如果不用反证法证明也可以利用第(1)问函数单调性证明，即x0，1x0时，f(x)f(0)1，故当x0时，f(x)0，所以无负实数根