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大约一千五百年前,我国古代数学名著孙子算经中记载着许多有趣的数学名题 。,北师大五年级数学上册,尝试与猜测,笼子里有若干只鸡和兔,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。鸡和兔各有几只?,(3)同学们先来猜一猜鸡、兔可能各有多少只?,鸡和兔共有35只,鸡和兔的脚共94只。,(1)你从中发现了哪些数学信息?,(2)这道题里还有隐藏的数学信息吗?,每只兔有4只脚,每只鸡有2只脚。,解题的关键,一只鸡( )条腿,一只兔( )条腿 .,2,4,一只鸡一只兔,共( )个头,( )条腿?,2,6,鸡兔同笼问题,鸡兔同笼,有鸡3只,有兔3只。 数一数,一共有几个头? 数一数,一共有几条腿?,头:3+3=6(个),腿:32=6(条)鸡,43=12(条)兔,6+12=18(条),猜一猜,鸡兔同笼, 数它们的头共有2个, 数它们的腿共有6条。 想想有几只鸡?有几只兔?,你猜对了吗?,鸡兔同笼, 数它们的头共有2个, 数它们的腿共有6条。 想想有几只鸡?有几只兔?,猜一猜,鸡兔同笼, 数它们的头共有3个, 数它们的腿共有8条。 想想有几只鸡?有几只兔?,鸡兔同笼, 数它们的头共有3个, 数它们的腿共有8条。 想想有几只鸡?有几只兔?,你猜对了吗?,猜一猜,鸡兔同笼, 数它们的头共有3个, 数它们的腿共有10条。 想想有几只鸡?有几只兔?,鸡兔同笼, 数它们的头共有3个, 数它们的腿共有10条。 想想有几只鸡?有几只兔?,你猜对了吗?,16,18,1,1,2,5,3,4,2,3,4,5,20,14,22,(4)请同学们借助表格,整理一下我们的解题过程。,(1)如果鸡兔共6只,共有22只脚,尝试猜测一下鸡、兔各有多少只?,(2)鸡兔共6只不变,脚数变为20只脚,鸡兔各几只?你是怎猜测出来的?,(3)鸡兔共6只不变,脚数还有其它情况吗?鸡兔的只数呢?,从下表中你发现了什么规律?,1、鸡的只数在逐一增多。,2、兔的只数在逐一减少;脚的只数也在减少。,3、鸡增加一只兔减少一只,脚数减少两只。, 鸡兔的只数是固定的,每减少一只兔就要增加一只鸡,脚的总数就减少两条。,1、笼子里有若干只鸡和兔,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。鸡和兔各有几只?,试一试,答:鸡有 只,兔有 只。,23,12,鸡兔同笼,共有5个头, 14条腿。笼子里有几只鸡?有几只兔?,1、画图法,52=10(条),1410=4(条),少画了4条腿,补上,怎样补?,可以全部看成是鸡:,42=2(只),补上2个2条腿。,兔子2只,鸡3只,54=20(条),2014=6(条),多画了6条腿,擦去,怎样擦去?,也可以全部看成是兔:,54=20(条),2014=6(条),多画了6条腿,擦去,怎样擦去?,也可以全部看成是兔:,62=3(只),兔子2只,鸡3只,擦去3个2条腿,假设法,怎样假设更好?,2、列表法:,5,0,10,4,1,12,3,2,14,2,3,16,1,4,18,0,5,20,列表法:,你发现了什么规律?,鸡兔同笼,有9个头,26条腿。鸡和兔各有几只?,“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著孙子算经。,1、与同伴说一说你的想法。,我早听说过“鸡兔同笼”问题,就是不会做。,有9个头会有哪些可能呢?列表试一试。,2、笑笑是这么做的,你看懂了吗?与同伴交流。,也可以先假设有1只兔8只鸡,请你列表试一试。,一共有9个头,假设有1只鸡,应该有8只兔,那鸡和兔的腿数是34条,不对,3、从列表中,你还发现了什么?与同伴交流。,我发现鸡增加1只,兔减少1只,腿就会减少2条,只要按照这个步骤做下去,不管头数和腿数是多少,都能解决,孙子算经中的原题是:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?” 读一读,你知道这道题的意思吗?你能解决这个问题吗?,还从有1只鸡开始一个一个地试,逐一列举法,孙子算经中的原题是:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?” 读一读,你知道这道题的意思?你能解决这个问题吗?,我是这么做的,跳跃列举法,孙子算经中的原题是:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?” 读一读,你知道这道题的意思?你能解决这个问题吗?,我先假设鸡和兔的只数差不多,取中列举法,鸡兔同笼不是只解决鸡与兔的问题,它是一类问题的统称。生活中许多问题都可以用解决鸡兔同笼问题的方法来解决。,已知:共有54人,共租10条船,每条船都坐满。,大船乘6人 小船乘4人,求: 大、小船各租几条?,鸡兔的总头数,鸡兔的总脚数,走进生活,小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚,价值5.1元,1角和5角的硬币各有多少枚?,走进生活,乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚,总值5.1元,1角和5角的硬币各有多少枚?请你用列表的方法解决问题。,走进生活,列表法,假设法,方程法,解决鸡兔同笼问题的方法有:,画图法,鸡兔同笼,共有5个头, 14条腿。笼子里有几只鸡?有几只兔?,2、有龟和鹤共40只,龟的脚和鹤的脚共有112条。龟、鹤各有几只?,日本的龟鹤问题,试一试,答:鹤有 只,龟有 只。,24,16,菜市场里真热闹, 鸡兔同笼喔喔叫。 数数头儿有8个, 数数腿儿26。 可知鸡兔各多少?,28=16(条),26-16=10(条),画图法,28=16(条),26-16=10(条),兔子:102=5(只),鸡:8-5=3(只),假 设 法,怎样验证结果是正确的?,画图法,假设笼子里都是鸡,那么应有多少条腿?,8216(条),这样比题中条件少了多少条腿?,261610(条),为什么会少了10条腿呢?,因为,一只兔比一只鸡多2只脚, 有多少只兔能相差10条腿?,1025(只),所以有5只兔,853(只) 有3只鸡。,想一想: 当算出共有的腿数多了,说明什么?怎么办呢?当算出的共有腿数少了呢?,.尝试与实践:,鸡兔同笼,有20头,54条腿,鸡兔各多少只? 1.出示例题: 师:同学们有兴趣解决这个古老的问题吗? 师:只要细心观察,不断的尝试”.相信同学们. 师:现在分组学习,每八人为一小组讨论解决的方法.,第一组表格:,第二组表格:,第三组表格:,师:你们觉得那种方案你最喜欢?,生:我们组还有好方法,我们画出它们的腿进行尝试.,教师小结:,师:太棒了,真是太棒了!画图法也是一种直观形象的好方法,时间关系,我们这节课先掌握列表的方法,将画图法布置为我们今天的作业尝试。 师:通过评比,你们觉得哪个组的办法最好? 四.名解欣赏: 师:你们知道我们今天研究的鸡兔问题最早记录在哪本书上吗?古代有一个大数学家孙子想出的一种更奇特、更简洁的方法,你知道吗?,孙子巧解“鸡兔同笼” 大约在一千五百年前,大数学家孙子在孙子算经中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”这四句的意思就是:有若干只鸡和兔在同一个笼子里,从上面数,有三十五个头;从下面数,有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔?同学们,你会解答这个问题吗?你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的? 解析: 原来孙子提出了大胆的设想。他假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,而每只兔就变成了“双脚兔”。这样,“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由94只变成了47只;而每只“鸡”的头数与脚数之比变为1:1,每只“兔”的头数与脚数之比变为1:2。由此可知,有一只“双脚兔”,脚的数量就会比头的数量多1。所以,“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差,就是兔子的只数,即:4735=12(只);鸡的数量就是:3512=23(只)。,当然,这道题还可以用方程来解答。 先设兔的只数(也就是头数)是x,因为“鸡头+兔头=35”,所以“鸡头=35-x”。 由此可知,有x只兔,应该有4x只兔脚,而鸡的只数是(35x),所以应该有2(35x)只鸡脚。现在已知鸡兔的脚总共是94只,因此,我们可以列出下面的关系式: 4x+2(35x)=94 x=12 于是可以算出鸡的只数是35-12=23。,寄一封平信(20克以内)本市要贴6角的邮票, 外埠(bu)要贴8角的邮票。小明买了两种邮票 一共花了5元,分别买了多少张?,1张,(6角),4张,5张,6张,7张,3张,2张,(12角),(18角),(24角),(30角),(36角),(42角),(44角),(38角),(32角),(26角),(20角),(14角),(8角),1张,4张,5元,5元,小方有2分、5分硬币共10枚,共有32分。2分、5分硬币各有几枚?,210=20(分),3220=12(分),5-2=3(分),12分,123=4(个),5分,3分,3分,3分,3分,104=6(个),2分,有龟和鹤共7只,龟的腿和鹤的腿共有20条,龟和鹤各有几只?,全班一共有38人,共租8条船,每条船都坐满了,大小船各租了几条?,自行车和三轮车放在同一个车棚里,数数一共有8辆,数数轮子一共有19个。问:自行车有几辆?三轮车有几辆?,一只蛐蛐6条腿,一只蜘蛛8条腿,现有蛐蛐和蜘蛛共7只,共有48条腿,问:蛐蛐几只?蜘蛛几只?,鸵鸟和斑马共10个头,32条腿,鸵鸟有几只?斑马有几匹?,乒乓球比赛,有8个球案在进行单打、双打比赛,一共有22人正在比赛。单打的球案有几张?双打的球案有几张?,按,砍足法:(孙子算经中记载的方法),假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样,(1)鸡和兔的脚的总数就由26只变成了13只;(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。因此,脚的总只数13与总头数8的差,就是兔子的只数,即1385(只)。显然,鸡的只数就是5只了。,
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