1 张掖二中张掖二中 20182018 20192019 学年度第一学期月考试卷 学年度第一学期月考试卷 8 8 月 月 高三数学 理科 高三数学 理科 一 选择题 一 选择题 本大题共本大题共 1212 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 设集合 则集合为 23 Z Axxx 2 1 0 1 2 3B AB A B 2 1 0 1 2 1 0 1 2 C D 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 已知 虚数单位 等于 i 42 1 i i A B C D 3i 3i 3i 3i 3 已知向量夹角为 60 且 则 A 2 B 3 C 4 D 4 函数在点处的切线方程是 xexf x ln 1 1 f A B C D 1 2 xey1 exy 1 xeyexy 4 某校有 四件作品参加航模类作品比赛 已知这四件作品中恰有两件获奖 在结 果揭晓前 甲 乙 丙 丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下 甲说 同时获奖 乙说 不可能同时获奖 丙说 获奖 丁说 至 少一件获奖 如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的 则获奖的作品是 A 作品 与作品 B 作品 与作品 C 作品 与作品 D 作品 与作品 5 如图 1 风车起源于周 是一种用纸折成的玩具 它用高粱秆 胶泥瓣儿和彩纸扎成 是老北京的象征 百姓称它吉祥轮 风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物 之一 图 2 是用 8 个等腰直角三角形组成的风车平面示意图 若在示意图内随机取一点 则此点取自黑色部分的概率为 A B C D 7 等比数列各项均为正数且 A 15 B 12 C 10 D 8 长方体内部挖去一部分的三视图如图所示 则此几何体的体积为 2 A B C D 9 函数的部分图像为 A B C D 10 已知某程序框图如图所示 则执行该程序后输出 的结果 是 A B C D 3 11 已知定义域为 的奇函数 当时 满足 则 A B C 2 D 0 12 设双曲线的右顶点为 右焦点为 弦过且 22 22 1 0 0 xy ab ab A 0F cPQF 垂直于轴 过点 点分别作为直线 的垂直 两垂线交于点 若xPQAQAPBB 到直线的距离小于 则该双曲线离心率的取值范围是 PQ 2 ac A B C D 0 3 1 3 3 2 3 二 填空题二 填空题 本题共本题共 4 4 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 13 已知 则 tan2 sin 2sincos cos 14 设变量 满足约束条件则的最大值为 15 下列有关命题的说法正确的是 请填写所有正确的命题序号 命题 若 则 的否命题为 若 则 命题 若 则 的逆否命题为真命题 条件 条件 则 是 的充分不必要条件 已知时 若是锐角三角形 则 16 已知在三棱锥中 底面为等边三角形 且平面平 面 则三棱锥外接球的体积为 三 解答题 三 解答题 本题共本题共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题 12 分 的内角的对边分别为 已知 已知 1 求角 的值 2 若 求的面积 18 本题 12 分 从某校高三的学生中随机抽取了 100 名学生 统计了某次数学模考考试成 绩如表 4 1 请在频率分布表中的 位置上填上相应的数据 并在给定的坐标系中作出这些 数据 的频率分布直方图 再根据频率分布直方图估计这 100 名学生的平均成绩 2 从这 100 名学生中 采用分层抽样的方法已抽取了 20 名同学参加 希望杯数学竞 赛 现需要选取其中 3 名同学代表高三年级到外校交流 记这 3 名学生中 期中考试成 绩低 于 120 分 的人数为 求 的分布列和数学期望 19 本题 12 分 如图 在多面体中 底面是边长 为 2 的菱形 四边形是矩形 和 分别 是和的中点 1 求证 平面平面 2 若平面平面 求平面与平面 所成角的余弦值 20 本题 12 分 已知椭圆 C 的标准方程为 该椭圆经过点 P 1 且离 心率为 求椭圆的标准方程 5 过椭圆长轴上一点 S 1 0 作两条互相垂直的弦 AB CD 若弦 AB CD 的中点分别为 M N 证明 直线 MN 恒过定点 21 本题 12 分 已知函数 若的极小值为 求 的值 若对任意 都有恒成立 求实数 的取值范围 请考生在请考生在 2222 2323 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本题 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 以坐标原点 为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系且具有 相同的长度单位 直线 的极坐标方程为 曲线 的极坐标方程为 求直线 与曲线 的直角坐标方程 设点 直线 与曲线 交于不同的两点 求的值 23 本题 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1 解关于 的不等式 2 记的最小值为 已知实数 都是正实数 且 求证 6 张掖二中2018 2019学年度第一学期月考试卷 8 月 高三数学 理科 答案 1 B 解析 由题意可得 则集合为 本题选择 B 1 0 1 2A AB 1 0 1 2 2 B 解析 试题分析 根据题意 有 故选 B 4214262 3 122 iiii i i 3 A 解析 分析 已知 和 的模长及这两向量的夹角 可以将所求目标利用平方 模的平 方等于向量的平方 转化为 和 的线性运算 4 C 解析 由题意可知 切线方程的斜率为 则可求出在点处的切线方程 故选 e 1 1 f C 5 D 解析 根据题意 作品中进行评奖 由两件获奖 且有且只有二位同学的预 测是正确的 若作品 与作品 获奖 则甲 乙 丁是正确的 丙是错误的 不符合题意 若作品 与作品 获奖 则乙 并 丁是正确的 甲是错误的 不符合题意 若作品 与作品 获奖 则甲 乙 丙是正确的 丁是错误的 不符合题意 只有作品 与作品 获奖 则乙 丁是正确的 甲 丙是错误的 符合题意 综上所述 获奖作品为作品 与作品 故选 D 6 B 解析 分析 由几何概型及概率的计算可知 用黑色部分的面积比总面积 即可求解 概率 设白色部分的等腰直角三角形的斜边长为 则直角边的长为 所以所有白色部分的 面积为 则黑色部分的等腰直角三角形的腰长为 1 所有黑色部分的面 积为 由几何概型可得其概率为 故选 B 7 C 解析 等比数列 an 的各项均为正数 且a4a7 a5a6 18 a4a7 a5a6 2a5a6 18 a5a6 9 log3a1 log3a2 log3a10 log3 a1 a2 a3 a10 log3 a5a6 5 log3310 10 故选 C 8 A 解析 由三视图可知 该几何体是一个长方体内部挖掉一个半圆锥 其中长方体的长 宽 高 分 别 为 圆 锥 的 底 面 半 径 为 高 为 所 以 该 几 何 体 的 体 积 为 故选 9 D 解 析 已 知 函 数 定 义 域 为 函数为偶函数 故排除 当时 此时 故排除 综上正确答案选 10 A 解析 代入 则 再次代入得 继续代入得 不难发现出现了循环 周期为 3 则当时 跳出循环得到 故选 11 B 解 析 定 义 域 为的 奇 函 数 可 得 当时 满 足 可得时 则 故选 B 7 12 B 解析 由题意 B在x轴上 22 bb P cQ c aa 2 AQ b a k ac 直线BQ的方程为 2 2 BP aac k b 令y 0 可 22 2 baac yxc ab 得 B到直线PQ的距 4 2 b xc aac 离小于 2 a c e 1 4 2 2 b ac aac 2ba 3ca 3e 故选 B 13e 13 解析 3 5 sintan13 tan2 2sincos2tan15 cos 14 解析 满足约束条件的可行域如下图所示 由图可知 由可得 C 由 可得 A 4 4 由 可得 B 2 1 当 x y 时 z x 2y 取最大值 15 解析 对于 命题 若 则 的否命 题是 若 则 故错误 对于 命题 若 则 是真命题 则它的逆否命题也是真命题 故 正确 对于 条件 即为或 条件 即为 则 是 的充分不必要条件 故错误 对于 时 则在上是增函数 当是 锐 角 三 角 形 即 所以 则 故正确 故答案为 16 解析 ADB 是直角三角形 底面 BAD 的外心为斜 边 DB 中点 H 且平面 ABD 平面 BCD CH DB CH 底面 BAD 三棱锥 A BCD 外接球 的 球 心 在 CH 上 三 棱 锥 A BCD 外 接 球 的 半 径 为 R 则 CH R 2 BH2 OB2 可得 R 2 三棱锥 A BCD 外接球的体积为 故答案为 17 1 2 8 解析 1 由得 2 由余弦定理 得 则 18 1 见解析 2 见解析 解析 1 频率分布表为 分组 频数 频率 频率分布直方图为 平均成绩为 分 2 成绩低于分的人数为人 不低于分的人数为人 的 所 有 可 能 取 值 为 且 的分布列为 19 1 见解析 2 解析 1 连接交于点 显然 平面 平面 可得平面 同 理平 面 又 平面 可得 平面平面 2 过点在平面中作轴 显然轴 两两垂直 如图所示建立空间直角坐标系 设 平 面与 平 面 法向量分别为 设 9 设 综上 面与平面所成角的余弦值为 20 1 2 解析 解 点P 1 在椭圆上 又 离心率为 e a 2c 4a2 4b2 a2 解得 a2 4 b2 3 椭圆方程为 证明 设直线AB的方程为x my s m 0 则直线CD的方程为x 联立 得 3m2 4 y2 6smy 3s2 12 0 设A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 my1 s my2 s m2y1y2 ms y1 y2 s2 由 中 点 坐 标 公 式 得 M 将 M 的坐标中的 m 用 代换 得 CD 的中点 N 直线 MN 的方程为 x y m 1 令 y 0 得 x 直线 MN 经 过定点 当 m 0 1 时 直线 MN 也经过定点 综上所述 直线 MN 经过定点 当时 过定点 21 a e 解析 当时 恒成立 无极值 当时 由 得 并且当时 当时 所以 当时 取得极小值 依题意 又 综上 令 则 令 则当 时 单调递增 当时 在上单调递增 所以 当时 对任意恒成立 当时 所以 存在 使 此处用 当时 存在 使 并且 当 时 在上单调递减 所以 当时 所以 当时 对任意不恒成立 综上 的取值范围为 22 1 2 解析 1 2 考虑直线方程 则其参数方程为 为参数 代入曲线方程有 则有 23 1 2 9 解析 1 或或 解得或 综上所述 不等式的解集为 10 2 由 时取等号 即 从而 当且仅当 即时取等号 原不等式得证