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计算教学中的创新思维培养资料 20以内进位加法 计算是一种映射。如果给出若干元素,按照某种法则存在唯一元素与它相对应,称之为计算。计算学习包括算法理解,技能习得和问题解决,它们相互联系并构成教学的整体。教学中要处理好三者之间的关系,注意避免把获得正确的计算结果作为教学的唯一要求,应当重视在计算活动中对学生的思考性训练,注重培养学生的创新思维能力。下面以20以内进位加法为例,谈一些思考和实践。一、学前基础的调查与教学启示 现在的小学生大部分受过学前教育,在学习20以内进位加法之前,已有相当一部分学生能熟练计算。2000年11月,我们曾在学生正式学习这一内容之前的一个月,对杭州市上城区一年级470名学生进行调查,得出的结论是45.93%的学生能较熟练地进行计算,计算速度达到每分8题,平均每题的通过率是77.53%。2009年11月,我们再次对这一地区一年级新入学的491名学生进行调查,学前平均每题的通过率竟高达91.62%。两次测试每题通过率如下表:题目2001年通过率2009年通过率题目2001年通过率2009年通过率题目2001年通过率2009年通过率9+298.02%96.22%8+792.21%86.94%6+871.9090.38%9+396.23%92.78%8+881.03%93.13%6+965.5392.44%9+497.44%96.22%8+958.51%89.00%5+696.0895.19%9+591.06%91.41%7+468.72%93.81%5+782.3489.69%9+684.89%90.38%7+571.70%94.50%5+868.5190.38%9+764.68%87.63%7+669.7987.97%5+978.7294.85%9+865.74%87.63%7+774.04%89.69%4+770.8590.38%9+984.04%89.00%7+870.21%89.00%4+882.5592.10%8+375.32%93.13%7+944.68%89.00%4+950.8590.72%8+494.74%91.07%6+574.89%92.44%3+863.4091.75%8+573.83%95.88%6+692.34%91.97%3+995.2893.81%8+687.70%87.63%6+780.31%91.75%2+982.7796.56%需要说明的是,测试题目就是表中所列的36式,但并非按上述顺序,而是打乱顺序随机排列的。两次调查的结果都表明,仅就获得计算结果而言,学生在正式学习20以内进位加法之前,已经具备十分扎实的基础,与课程标准(实验稿)提出的每分810题的要求已十分接近。基于这样的事实,教学20以内进位加法,学习起点如何定位?教学的重心如何转向?我们的回答是,教学的重心不再是计算技能的习得,而应该在理解算理和掌握算法的基础上,把重心放在计算活动中的数学方法训练上,通过合适的训练形式挑战学生的思维,培养学生的创新思维能力。二、问题情境的设计与算理理解理解算理是掌握算法的逻辑起点。在学习20以内的进位加法之前,学生已经学习了10以内的加法与减法,包含相应的十几加几或减几,这些计算都不涉及进位与退位,侧重于对运算意义的理解并把计算关联到广泛而不同的情境。从20以内的进位加法开始,教学转向形式化的计算并侧重于对算理理解和算法掌握。教学时以“凑10法”为基础,通过问题情境,帮助学生理解算理,探索多种算法。 如,先出示情境图。 师:观察这幅图,你知道了什么? 生:左边有8个鸡蛋,右边有5个鸡蛋。 师:一共有多少个鸡蛋,可以怎么算? 生:8+513. 师:你是怎么算出答案13的? 生:8与10相差2,5里面有2,把2分到8这里去就是10了,还多3个,就是13。 师:刚才这位同学说的是什么意思? 生:只要把左边摆成10个,右边就剩下3个,一看就知道是13。 学生解释,教师根据师生对话,先动态演示移动鸡蛋的过程,再完成下面的板书(如下面左图)。 师:还有没有别的方法也能算85?讨论中,学生以汇报了以下三种方法: 生1:把8分成3和5,5加5等于10,再加上3就是13.(如上面右图) 生2:把8当成10,用105,因为8不到10,多算了2,要减去,这样它的答案也是13。 学生解决问题策略多样化是创新思维的表现。但是这些策略不是无源之水,与教材的编排设计与学生经历的训练有关,限于篇幅,这里主要讨论“凑10法”。首先,“拿鸡蛋”的活动情境隐含了“凑10”的思考过程,情境支持了算理的理解。教学中,教师的主要任务就是引导学生解释和说明,让学生通过多样的方法演绎“凑10”的思考过程。学生经历了问题情境、语言叙述和算式表征之间相互联系和转译的过程,并在这个过程中理解算理,掌握算法。 其次,学生为什么会对“凑10”比较敏感?这个问题可以联系到教材设计认数活动中。我们在设计“认识10”时,强调把“10”作为一个新的计数单位,重视以“十”为单位计数。如延续到认识十几的数时,十分重视“圈10”的训练。如20以内进位加法的教学,以“凑10”为基础,让学生在相似情境中迁移计算方法,这样就可以改变以往8加几、7加几逐类教学的方式,通过集中一两节课理解算理,探索多样算法,然后在后继的巩固练习中形成熟练的技能,提高教学的效率,把更多精力投入到更有价值的学习活动中去。三、数学思想渗透与数学方法的训练20以内进位加法,是进一步学习数运算的重要基础。教学时,不能止步于形成熟练的计算技能,而应当通过丰富多样的形式,加强计算活动中的思考性训练,渗透数学思想,训练数学方法,培养创新思维。1.形数转换。通过坐标图中的形与数、形与式的转换,建立数、式、形的联系,渗透形数结合的思想。2.信息推理。根据情境信息,在理解基数与序数关系的基础上,对信息进行加工处理,解决问题。3.联系比较。根据式与式之间的关系,灵活选择计算的方法,并为后继学习乘加、乘减作准备。4. 代数思维。从同数连加求和到同图连加已知和求图形所示的数,培养可逆思考能力,渗透初步代数思维。5.构造性方法。如,等距搭配。观察数列的规律,构建和相等的式子。先从4,5,6,7,8这五个数中,找出两个数相加后和相等的三对数。4+7+ + +再把这五个数填在每个图的小方格里,使横、竖三个数的和相等。864和是 和是 和是又如,选数填空。先构建出基本的等式,再通过数的分解获得多种解法。 此题共有52个解,按和值分类,解的个数呈正态分布。在限定的时间内,学生能否得到解答,能得到几个解答,可以反映学生的基本运算能力和解题策略水平。我们对两个地区567名学生进行调查发现,通过和值相等的口算系列训练之后,学生解题此题的通过率比自然状态(没有经过系统训练)有很大提高,能独立得到1个及1个以上解的从78.5%提高到95.3%,其中能得到5个以上解的从12.7%提高到63.3%。再如,方格连数。根据不同的年级,可以把和数改成30,40或其它,答案多达数十种。这种类型的练习,结构比较简单,但是训练的容量很大。以上练习,可以安排在学习了20以内进位加法之后进行,练习目的除了巩固基本的计算方法,形成熟练的计算技能之外,更侧重于数学思想的渗透和数学方法的训练。由于计算的算式一般不是直接给出,而是由学生自己构造出来,计算时需要思考数与数的关系或数的空间位置,思考性和挑战性明显增强。应当强调,这些富有挑战性的数学问题联系的知识基础并不复杂,学生创新思维主要体现在观察、比较、探索和发现的过程之中。数学教育应当注重开发既联系重要基础,又能拓展思维空间的学习材料,把加强基础知识与培养创新思维有机地结合起来。同时,那种认为学生年龄太小,学习内容太简单,不能进行创新思维能力培养的想法也是错误的。 表内乘、除法 乘、除法是学生学习了加、减法之后再学习的新运算。学生学习乘、除法需要更多的数学理解,要以新的思维方式进行思考,一般认为,学生学习乘、除法是计算概念的一次扩展,是认知上的一次飞跃。在学生学习乘、除法之前,应当进行铺垫性训练,以降低学生在学习新知识第一时间所产生的难度,提高新知的掌握水平。同时,乘、除法的学习拓展了学生数学视野和应用数学的空间,教学应当重视培养学生的数学思维,特别是推理能力。一、乘、除法学习的铺垫性训练乘法表示两个集合之间“一与多”相对应的恒定关系。乘法涉及两个数,分别是每个集合中物体的个数和集合的个数,即通常教学中所说的相同加数和相同加数的个数。乘法是表示同数连加的一种方法,求几个相同加数的和可以用乘法计算,这说明乘法与加法密切联系。但是,与加法相比较,由于乘法中每个数所起的作用不同,理解乘法中三个数是如何联系的,对学生的抽象思维能力要求更高。因此,在正式学习乘法之前,有必要安排铺垫性的训练。1.同数相加。乘法的本质是一类特殊的加法,这里所指的特殊就是加数相同。如结合图示直观,初步感知每份量、份数与总数之间的关系。把同数相加的问题情境转译成“几个几相加等于几”,为学习乘法这一新知识的含义打下基础。 2.一与多对应。一与多对应是指一个与多个相对应,学生遇到的比较简单的乘法形式,如1辆汽车有4个轮子,就是这种对应关系。日常生活中这种例子比比皆是。如在正式学习乘法之前,让学生通过数集合中物体的个数与集合的个数,体会这些数的含义以及它们之间的关系,为学习乘法积累活动经验。3.递推计算。这里所指的“递推”不是指演绎推理中递推关系,而是在同数相加的计算中,基于已有的计算结果,结合相同加数个数的变化推算出新的得数。如这种训练结合20以内的进位加法进行,使学生在熟练加法计算的同时,获得对相同加数,相同加数个数等概念的初步理解。随着学生认数范围的扩展,这类铺垫可以结合不同的基础进行。如学习两位数加一位数之后安排:联系进位加法的学习,安排:除法学习的早期铺垫,主要包括两个方面:一是理解除法的上位概念平均分,二是积累把物体平分的活动经验,这两个方面是相互联系的,在实际教学中也可以结合在一起进行。如教学时,可以呈现几种不同的分法,如通过正反两种例子的比较,帮助学生建立平均分的概念。进一步,可引导学生通过画图或操作学具,把物体拆分成相等的集合。如平分对儿童来说是很生动的数学活动,在平分活动中,需要考虑三个因素,一是全体的大小,二是分为几部分和每部分的大小,三是每部分必须相等。这些思考构成了理解平均分的基础。平均分通常有两种含义:一是多个物体的平均分配,二是一个物体的平均分。前者是认识除法的基础,后进是认识分数的起点。一般在学习除法之前只讲前者,对于基础较好的班级,也可以适当考虑后者。如让
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