13 5逆命题与逆定理 第13章全等三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 3 角平分线 1 会叙述角平分线的性质及判定 重点 2 能利用三角形全等 证明角平分线的性质定理 理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理 能应用这两个性质解决一些简单的实际问题 难点 3 经历探索 猜想 证明的过程 进一步发展学生的推理证明意识和能力 学习目标 在一个三角形居住区内修有一个学校P P到AB BC CA三边的距离都相等 请在三角形居住区内标出学校P的位置 P在何处 导入新课 问题情境 讲授新课 如图 点P是 AOB的角平分线OC上的任意一点 且PD OA于点D PE OB于点E 将 AOB沿OC对折 你发现了什么 如何表达 并简述你的证明过程 对折后PD PE能够完全重合 PD PE 角是轴对称图形吗 它的对称轴是什么 下面我们来证明刚才得到的结论 已知 OC平分 AOB P是OC上任意一点 PD OA PE OB 求证 PD PE 证明 OC平分 AOB P是OC上一点 DOP BOP PD OA PE OB ODP OEP 90 在 OPD和 OPE中 DOP EOP ODP OEP OP OP OPD OPE A A S PD PE 全等三角形的对应边相等 由上面证明 我们得到角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 这一定理描述了角平分线的性质 那么反过来会有什么结果呢 写出性质定理及其逆命题的条件和结论 你有什么发现 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 想想看 这个逆命题是否是一个真命题 你能证明吗 逆命题如果一个点到角两边的距离相等 那么这个点在这个角的平分线上 分析 为了证明点P在 AOB的平分线上 可以先作射线OP 然后证明Rt PDO Rt PEO 从而得到 AOP BOP 已知 如图 PD OA PE OB 垂足分别是D E PD PE 求证 点P在 AOB的角平分线上 点P在 AOB的平分线上 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 应用所具备的条件 定理的作用 判断点在角平分线上 角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理 利用尺规作三角形的三条角平分线 你发现了什么 发现 三角形的三条角平分线交于一点 做一做 怎样证明这个结论呢 点拨 要证明三角形的三条角平分线相交于一点 只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可 思路可表示如下 试试看 你会写出证明过程吗 D E I G 例如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P 求证 点P也在 A的平分线上 N M 典例精析 证明 过点P作PD AB PE BC PF AC 垂足分别为D E F BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 已知 PD PE 角平分线上的点到角两边的距离相等 同理PE PF PD PF 等量代换 点P在 A的平分线上 即点P到AB BC CA三边的距离相等 E D F M N 当堂练习 1 如图 DE AB DF BC 垂足分别是E F DE DF EDB 60 则 EBF BE 60 BF A B C D E F 2 如图 ABC中 C 90 DE AB CBE ABE 且AC 6cm 那么线段BE是 ABC的 AE DE C 角平分线 6cm 3 已知 如图 ABC中 C 90 AD是 ABC的角平分线 DE AB于E F在AC上 BD DF 求证 CF EB 证明 AD平分 CAB DE AB C 90 已知 CD DE 角平分线的性质 在Rt CDF和Rt EDB中 CD ED 已证 DF DB 已知 Rt CDF Rt EDB H L CF EB 全等三角形的对应边相等 C 角平分线的性质及判定 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 课堂小结 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上