平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程第二节两直线的位置关系第三节圆的方程第四节直线与圆 圆与圆的位置关系第五节椭圆第六节双曲线第七节抛物线第八节曲线与方程第九节圆锥曲线的综合问题 目录 平面解析几何 知识能否忆起 一 直线的倾斜角与斜率 动漫演示更形象见课间光盘 1 直线的倾斜角 1 定义 x轴与直线方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角 当直线与x轴平行或重合时 规定它的倾斜角为 2 倾斜角的范围为 正向 向上 0 0 超链接 2 直线的斜率 1 定义 一条直线的倾斜角 的叫做这条直线的斜率 斜率常用小写字母k表示 即k 倾斜角是90 的直线没有斜率 2 过两点的直线的斜率公式 经过两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率公式为 正切值 tan 二 直线方程的形式及适用条件 y y0 k x x0 y kx b 垂直于x轴 垂直于x轴 垂直于坐 标轴 Ax By C 0 A B不全为0 垂直于坐 标轴 过原点 小题能否全取 答案 C A 30 B 60 C 150 D 120 答案 A A 3x 4y 14 0B 3x 4y 14 0C 4x 3y 14 0D 4x 3y 14 0 3 过点M 2 m N m 4 的直线的斜率等于1 则m的值为 A 1B 4C 1或3D 1或4 答案 A 4 2012 长春模拟 若点A 4 3 B 5 a C 6 5 三点共线 则a的值为 答案 4 5 若直线l过点 1 2 且与直线2x 3y 4 0垂直 则直线l的方程为 答案 3x 2y 1 0 1 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在 每条直线都有倾斜角 但不一定每条直线都存在斜率 2 由斜率求倾斜角 一是要注意倾斜角的范围 二是要考虑正切函数的单调性 3 用截距式写方程时 应先判断截距是否为0 若不确定 则需要分类讨论 直线的倾斜角与斜率 A 1B 3C 0D 2 1 求倾斜角的取值范围的一般步骤 1 求出斜率k tan 的取值范围 2 利用三角函数的单调性 借助图象或单位圆数形结合 确定倾斜角 的取值范围 2 求倾斜角时要注意斜率是否存在 A 45 B 60 C 120 D 135 答案 D 2 2012 金华模拟 已知点A 1 3 B 2 1 若直线l y k x 2 1与线段AB相交 则k的取值范围是 答案 D 直线方程 2 2012 东城模拟 若点P 1 1 为圆 x 3 2 y2 9的弦MN的中点 则弦MN所在直线的方程为 答案 1 3x 4y 8 0或3x 4y 8 0 2 2x y 1 0 求直线方程的方法主要有以下两种 1 直接法 根据已知条件 选择适当的直线方程形式 直接写出直线方程 2 待定系数法 先设出直线方程 再根据已知条件求出待定系数 最后代入求出直线方程 2 2012 龙岩调研 已知 ABC中 A 1 4 B 6 6 C 2 0 求 1 ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程 2 BC边的中线所在直线的一般式方程 并化为截距式方程 例3 2012 开封模拟 过点P 3 0 作一直线 使它夹在两直线l1 2x y 2 0与l2 x y 3 0之间的线段AB恰被点P平分 求此直线的方程 直线方程的综合应用 解决直线方程的综合问题时 除灵活选择方程的形式外 还要注意题目中的隐含条件 若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值 3 2012 东北三校联考 已知直线l过点M 2 1 且分别与x轴 y轴的正半轴交于A B两点 O为原点 1 当 AOB面积最小时 求直线l的方程 2 当 MA MB 取得最小值时 求直线l的方程 典例 2012 西安模拟 设直线l的方程为 a 1 x y 2 a 0 a R 1 若l在两坐标轴上的截距相等 求l的方程 2 若l不经过第二象限 求实数a的取值范围 1 与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形 如本例中的截距相等 当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足 2 常见的与截距问题有关的易误点有 截距互为相反数 一截距是另一截距的几倍 等 解决此类问题时 要先考虑零截距情形 注意分类讨论思想的运用 过点M 3 4 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 1 2012 郑州模拟 已知直线l1的方向向量为a 1 3 直线l2的方向向量为b 1 k 若直线l2经过点 0 5 且l1 l2 则直线l2的方程为 A x 3y 5 0B x 3y 15 0C x 3y 5 0D x 3y 15 0 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 B 2 2012 吴忠调研 若过点P 1 a 1 a 与Q 3 2a 的直线的倾斜角为钝角 则实数a的取值范围是 答案 2 1 3 已知直线l过点P 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于A B两点如图 求 ABO的面积的最小值及此时直线l的方程 知识能否忆起 一 两条直线的位置关系 k1 k2 k1k2 1 A1B2 A2B1 A1A2 B1B2 k1 k2 b1 b2 k1 k2 b1 b2 A1B2 A2B1 B2C1 B1C2 A1B2 A2B1 A1C2 A2C1 二 两条直线的交点 相交 交点坐标 无解 平行 三 几种距离1 两点间的距离平面上的两点A x1 y1 B x2 y2 间的距离公式 d A B AB 2 点到直线的距离点P x1 y1 到直线l Ax By C 0的距离d 3 两条平行线间的距离两条平行线Ax By C1 0与Ax By C2 0间的距离d 小题能否全取 1 教材习题改编 已知l1的倾斜角为45 l2经过点P 2 1 Q 3 m 若l1 l2 则实数m为 A 6B 6C 5D 5 答案 B 2 教材习题改编 点 0 1 到直线x 2y 3的距离为 答案 B 3 点 a b 关于直线x y 1 0的对称点是 A a 1 b 1 B b 1 a 1 C a b D b a 答案 B 4 l1 x y 0与l2 2x 3y 1 0的交点在直线mx 3y 5 0上 则m的值为 A 3B 5C 5D 8 答案 D 5 与直线4x 3y 5 0平行 并且到它的距离等于3的直线方程是 答案 4x 3y 10 0或4x 3y 20 0 1 在判断两条直线的位置关系时 首先应分析直线的斜率是否存在 两条直线都有斜率时 可根据斜率的关系作出判断 无斜率时 要单独考虑 2 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时 直线方程必须先化为Ax By C 0的形式 否则会出错 例1 2012 浙江高考 设a R 则 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 4 0平行 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 自主解答 由a 1 可得l1 l2 反之 由l1 l2 可得a 1或a 2 答案 A 两直线的平行与垂直 在本例中若l1 l2 试求a 1 充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键 对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若有一条直线的斜率不存在 那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意 2 1 若直线l1和l2有斜截式方程l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则直线l1 l2的充要条件是k1 k2 1 2 设l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 则l1 l2 A1A2 B1B2 0 1 2012 大同模拟 设a b c分别是 ABC中角A B C所对的边 则直线xsinA ay c 0与bx ysinB sinC 0的位置关系是 A 平行B 重合C 垂直D 相交但不垂直 答案 C 例2 2012 浙江高考 定义 曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离 已知曲线C1 y x2 a到直线l y x的距离等于曲线C2 x2 y 4 2 2到直线l y x的距离 则实数a 两直线的交点与距离问题 1 点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求 注意直线方程为一般式 2 点到与坐标轴垂直的直线的距离 可用距离公式求解 也可用如下方法去求解 1 点P x0 y0 到与y轴垂直的直线y a的距离d y0 a 2 点P x0 y0 到与x轴垂直的直线x b的距离d x0 b 答案 2或 6 对称问题 例3 2012 成都模拟 在直角坐标系中 A 4 0 B 0 4 从点P 2 0 射出的光线经直线AB反射后 再射到直线OB上 最后经直线OB反射后又回到P点 则光线所经过的路程是 答案 A 对称问题主要包括中心对称和轴对称 1 中心对称 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 2 轴对称 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 3 2012 南京调研 与直线3x 4y 5 0关于x轴对称的直线方程为 A 3x 4y 5 0B 3x 4y 5 0C 3x 4y 5 0D 3x 4y 5 0解析 与直线3x 4y 5 0关于x轴对称的直线方程是3x 4 y 5 0 即3x 4y 5 0 答案 A 典例 2012 银川一中月考 求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 题型技法点拨 快得分 系列之 十 妙用直线系求直线方程 运用直线系方程 有时会给解题带来方便 常见的直线系方程有 1 与直线Ax By C 0平行的直线系方程是Ax By m 0 m R且m C 2 与直线Ax By C 0垂直的直线系方程是Bx Ay m 0 m R 3 过直线l1 A1x B1y C1 0与l2 A2x B2y C2 0的交点的直线系方程为A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 R 但不包括l2 求与直线2x 6y 11 0平行 且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 B 2 已知直线l x y 1 0 l1 2x y 2 0 若直线l2与l1关于l对称 则l2的方程是 A x 2y 1 0B x 2y 1 0C x y 1 0D x 2y 1 0 答案 B 3 光线沿直线l1 x 2y 5 0射入 遇直线l 3x 2y 7 0后反射 求反射光线所在的直线方程 知识能否忆起 1 圆的定义及方程 动漫演示更形象见配套光盘 x2 y2 Dx Ey F 0 x a 2 y b 2 r2 定长 定点 a b r 超链接 2 点与圆的位置关系点M x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系 1 若M x0 y0 在圆外 则 2 若M x0 y0 在圆上 则 3 若M x0 y0 在圆内 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 小题能否全取 1 教材习题改编 方程x2 y2 4mx 2y 5m 0表示圆的充要条件是 答案 B 答案 A 2 教材习题改编 点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4内 则实数a的取值范围是 A 1 1 B 0 1 C 1 1 D 1 解析 点 1 1 在圆的内部 1 a 2 1 a 2 4 1 a 1 3 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 的圆的方程为 A x2 y 2 2 1B x2 y 2 2 1C x 1 2 y 3 2 1D x2 y 3 2 1 答案 A 答案 1 5 教材习题改编 圆心在原点且与直线x y 2 0相切的圆的方程为 答案 x2 y2 2 1 方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是 1 B 0 2 A C 0 3 D2 E2 4AF 0 2 求圆的方程时 要注意应用圆的几何性质简化运算 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在任一弦的中垂线上 3 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心三点共线 例1 1 2013 顺义模拟 已知圆C关于y轴对称 经过点 1 0 且被x轴分成两段弧长之比为1 2 则圆C