2 3 4平面与平面垂直的性质 墙面与地面垂直 墙角线与地面有何位置关系 迷宫的所有面都是与地面垂直的 每个拐角所在直线与地面什么关系 1 掌握平面与平面垂直的性质定理 重点 2 能运用性质定理解决一些简单问题 难点 3 了解直线与平面 平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系 思考1黑板所在的平面与地面所在的平面垂直 你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直 提示 作与墙脚线垂直的交线 探究点1平面与平面垂直的性质 E F 思考2如图 在长方体中 1 里的直线都和 垂直吗 2 什么情况下 里的直线和 垂直 解答 与AD垂直 解答 不一定 思考3垂足为B 那么直线AB与平面 的位置关系如何 为什么 提示 垂直 证明 在平面内作BE CD 因为 所以AB BE 又由题意知AB CD 且BECD B 垂足为B 所以AB 则 ABE就是二面角的平面角 平面与平面垂直的性质定理 符号表示 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线 作用 它能判定线面垂直 它能在一个平面内作与这个平面垂直的垂线 关键点 线在平面内 线垂直于交线 提升总结 若两个平面互相垂直 在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b 那么 A 直线a垂直于第二个平面B 直线b垂直于第一个平面C 直线a不一定垂直于第二个平面D 过a的平面必垂直于过b的平面 即时训练 C 思考4设平面 平面 点P在平面内 过点P作平面的垂线a 直线a与平面具有什么位置关系 a a 提示 直线a在平面内 探究点2平面与平面垂直的性质有关的结论 两个平面垂直 则过某个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内 结论 A b a l B 提示 垂直 设两个平面互相垂直 则 A 一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面B 过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上C 过交线上一点垂直于交线的直线 必垂直于另一个平面D 分别在两个平面内的两条直线互相垂直 即时训练 A b a l 分析 寻找平面 内与a平行的直线 解 在 内作垂直于交线的直线b 因为所以因为所以a b 又因为所以a 即直线a与平面 平行 结论 垂直于同一平面 的直线 l 和平面 平行 A b a l 分析 作出图形 证法二 证法一 变式练习 在 内作直线a n 证法1 设 在 内作直线b m 在 内过A点作直线a n 证法2 设 在 内过A点作直线b m 同理 在 内任取一点A 不在m n上 如果两个相交平面都垂直于另一个平面 那么这两个平面的交线垂直于这个平面 结论 判断线面垂直的两种方法 线线垂直 线面垂直 面面垂直 线面垂直 如图 1 下列命题中 正确的是 A 过平面外一点 可作无数条直线和这个平面垂直B 若a b异面 过a一定可作一个平面与b垂直C 过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直D a b异面 过不在a b上的点M 一定可以作一个平面和a b都垂直 C A 3 平面 平面 直线l 直线m 则直线l m的位置关系是 解析 根据题意 知l m可能相交 平行或异面 答案 相交 平行或异面 4 如图 已知PA 平面ABC 平面PAB 平面PBC 求证 BC 平面PAB E E E 因为PA 平面ABC BC平面ABC 所以PA BC 又因为PA AE A 故BC 平面PAB 证明 过点A作AE PB 垂足为E 因为平面PAB 平面PBC 平面PAB 平面PBC PB 所以AE 平面PBC 因为BC平面PBC 所以AE BC 互动探究 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 平面PCD 平面ABCD 求证 AD 平面PCD 证明 在矩形ABCD中 AD CD 因为平面PCD 平面ABCD 平面PCD 平面ABCD CD AD 平面ABCD 所以AD 平面PCD 5 如图 在 ABC中 ABC 45 BAC 90 AD是BC上的高 沿AD把 ABD折起 使 BDC 90 证明 平面ADB 平面BDC 解题关键 本例中折叠前后AD与BD DC的垂直关系是否改变 提示 不变 AD BD AD DC仍然成立 证明 因为折起前AD是BC边上的高 所以当 ABD折起后AD DC AD DB 又BD DC D 所以AD 平面BDC 又AD 平面ADB 所以平面ADB 平面BDC 互动探究 改变问法 若本例条件不变 试证明平面ADB 平面ADC 证明 因为 BDC 90 所以BD DC 又AD BD AD DC D 所以BD 平面ADC 又BD 平面ADB 所以平面ADB 平面ADC 线线垂直 线面垂直 线线平行 面面平行 面面垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直的性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 a b a b l a l a a