第一章直角三角形 1 4角平分线的性质 情境导入 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线 它把这个角分成两个相等的角 新知探究 如图 在 AOB的平分线OC上任取一点P 作PD OA PE OB 垂足分别为点D E 试问PD与PE相等吗 将 AOB沿OC对折 可以发现PD与PE重合 即PD与PE相等 PD OA PE OB PDO PEO 90 在 PDO和 PEO中 PDO PEO DOP EOP OP OP PDO PEO PD PE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗 如图 点P在 AOB的内部 作PD OA PE OB 垂足分别为D E 若PD PE 那么点P在 AOB的平分线上吗 如图 过点O P作射线OC PD OA PE OB PDO PEO 90 在Rt PDO和Rt PEO中 OP OP PD PE Rt PDO Rt PEO AOC BOC OC是 AOB的平分线 即点P在 AOB的平分线OC上 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 例1 如图 BAD BCD 90 1 2 1 求证 点B在 ADC的平分线上 2 求证 BD是 ABC的平分线 证明 1 在 ABC中 1 2 BA BC 又BA AD BC CD 点B在 ADC的平分线上 2 在Rt BAD和Rt BCD中 BA BC BD BD Rt BAD和Rt BCD ABD CBD BD是 ABC的平分线 1 如图 在直线MN上求作一点P 使点P到 AOB两边的距离相等 答案 如图所示 P 2 如图 在 ABC中 AD平分 ABC DE AB于点E DF AC于点F BD CD 求证 AB AC 证明 AD平分 ABC DE AB于点E DF AC于点F DE DF BD CD Rt DBE Rt DCF B C AB AC 如图 已知EF CD EF AB MN AC M是EF的中点 需添加一个什么条件 就可使CM AM分别为 ACD和 CAB的平分线呢 可以添加条件MN ME 或MN MF ME CD MN CA M在 ACD的平分线上 即CM是 ACD的平分线 同理可得AM是 CAB的平分线 例2 如图 在 ABC的外角 DAC的平分线上任取一点P 作PE DB PF AC 垂足分别为点E F 试探索BE PF与PB的大小关系 解 AP是 DAC的平分线 又PE DB PF AC PE PF 在 EBP中 BE PE PB BE PF PB 如图 你能在 ABC中找到一点P 使其到三边的距离相等吗 因为角平分线上的点到角两边的距离相等 所以只要作 ABC任意两角 例如 A与 B 的平分线 其交点P即为所求作的点 点P也在 C的平分线上 如图 P 3 E是 AOB的平分线上一点 EC OA于点C ED OB于点D 求证 1 ECD EDC 2 OC OD 证明 1 E是 AOB的平分线上一点 EC OA于点C ED OB于点D CE DE ECD EDC 2 在Rt COE和Rt DOE中 CE DE OE OE Rt COE Rt DOE HL OC OD 4 如图 在 ABC中 AD DE BE DE AC BC分别平分 BAD ABE 点C在线段DE上 求证 AB AD BE 解 过C作CF AB于F AC BC分别平分 BAD ABE 且AD DE BE DE DC CF CE CF Rt ACD Rt ACF HL Rt BCE Rt BCF HL AD AF BE BF AB AF BF AD BE 通过本节课 你有什么收获 你还存在哪些疑问 和同伴交流