2 2二次函数的图象与性质 第二章二次函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时二次函数y ax2和y ax2 c的图象与性质 1 会画二次函数y ax2和y ax2 c的图象 难点 2 掌握二次函数y ax2和y ax2 c的性质并会应用 重点 3 比较函数y ax2与y ax2 k的联系 导入新课 复习引入 1 上一课时 我们学习了二次函数y 2x2的图象及性质 大家说说画法步骤及有哪些性质呢 2 一次函数y 2x与y 2x 2的图象的位置关系 3 你能由此推测二次函数y 2x2与y 2x2 1的图象之间有何关系吗 二次函数y 2x2 1与y 2x2 1的图象之间又有何关系 平行 解 分别填表 再画出它们的图象 如图 8 4 5 2 0 5 0 8 4 5 2 0 5 8 4 5 2 0 5 0 8 4 5 2 0 5 探究归纳 做一做 在同一直角坐标系中 画出函数的图象 讲授新课 问题1从二次函数的图象 可以看出其开口大小与a的绝对值大小有什么关系 当a 0时 a的绝对值越大 开口越小 练一练 在同一直角坐标系中 画出函数的图象 8 4 5 2 0 5 0 8 4 5 2 0 5 8 4 5 2 0 5 0 8 4 5 2 0 5 问题2从二次函数的图象 可以看出其开口大小与a的绝对值大小有什么关系 当a 0时 a的绝对值越大 开口越小 位置开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上 在x轴上方 开口向下 在x轴下方 a的绝对值越大 开口越小 关于y轴对称 对称轴方程是直线x 0 顶点坐标是原点 0 0 当x 0时 y最小值 0 当x 0时 y最大值 0 在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减 归纳总结 问题 观察下列图象 抛物线y ax2与y ax2 a 0 的关系是什么 二次项系数互为相反数 开口相反 大小相同 它们关于x轴对称 x y O y ax2 y ax2 探究归纳 做一做 在同一直角坐标系中 画出二函数y 2x2 1与y 2x2 1的图象 解 先列表 9 5 5 3 1 3 5 5 9 7 3 5 1 1 1 3 5 7 y 2x2 1 y 2x2 1 1 抛物线y 2x2 1 y 2x2 1的开口方向 对称轴和顶点各是什么 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 0 1 0 1 y轴 y轴 y 2x2 1 y 2x2 1 2 抛物线y 2x2 1 y 2x2 1与抛物线y 2x2有什么关系 可以发现 把抛物线y 2x2向平移1个单位长度 就得到抛物线 把抛物线y 2x2向平移1个单位长度 就得到抛物线y 2x2 1 下 y 2x2 1 上 二次函数y ax2 c的图象可以由y ax2的图象平移得到 当c 0时 向上平移c个单位长度得到 当c 0时 向下平移 c个单位长度得到 二次函数y ax2与y ax2 c a 0 的图象的关系 上下平移规律 平方项不变 常数项上加下减 探究归纳 把抛物线y 2x2向上平移5个单位 会得到哪条抛物线 向下平移2个单位呢 想一想1 画抛物线y ax2 c的图象有几步 2 抛物线y ax2 c中的a决定什么 怎样决定的 k决定什么 它的对称轴是什么 顶点坐标怎样表示 第一种方法 平移法 两步即第一步画y ax2的图象 再向上 或向下 平移 c 单位 第二种方法 描点法 三步即列表 描点和连线 a决定开口方向和大小 c决定顶点的纵坐标 归纳总结 二次函数y ax2 c a 0 的特点 当堂练习 1 抛物线y 2x2向下平移4个单位 就得到抛物线 2 填表 y 2x2 向上 向上 向下 0 0 0 1 0 5 y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 3 已知 m n 在y ax2 a a不为0 的图象上 m n 填 在 或 不在 y ax2 a a不为0 的图象上 4 若y x2 k 2 的顶点是原点 则k 若顶点位于x轴上方 则k 若顶点位于x轴下方 则k 在 2 2 2 5 不画函数y x2和y x2 1的图象回答下面的问题 1 抛物线y x2 1经过怎样的平移才能得到抛物线y x2 2 函数y x2 1 当x时 y随x的增大而减小 当x时 函数y有最大值 最大值y是 其图象与y轴的交点坐标是 与x轴的交点坐标是 3 试说出抛物线y x2 3的开口方向 对称轴和顶点坐标 向下平移1个单位 0 0 1 0 1 1 0 1 0 开口方向向上 对称轴是y轴 顶点坐标 0 3 1 一般地 抛物线y ax2的对称轴是y轴 顶点是原点 2 当a 0时 抛物线开口向上 顶点是抛物线的最低点 当a 0时 抛物线开口向下 顶点是抛物线的最高点 3 对于抛物线y ax2 a 0 当x 0时 y随x取值的增大而增大 当x 0时 y随x取值的增大而减小 4 对于抛物线y ax2 a 越大 抛物线的开口越小 课堂小结 二次函数y ax2 c a 0 的图象和性质 图象 性质 与y ax2的关系 开口方向由a的符号决定 k决定顶点位置 对称轴是y轴 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 平移规律 k正向上 k负向下