第四章三角形 第20课时全等三角形 1 如图 图中的两个三角形全等 则 的度数是 A 72 B 60 C 58 D 50 D 2 2016 永州市 如图 点D E分别在线段AB AC上 CD与BE相交于点O 已知AB AC 现添加以下的哪个条件仍不能判定 ABE ACD A B CB AD AEC BD CED BE CD D 3 2015 盐城市 如图 在 ABC与 ADC中 已知AD AB 在不添加任何辅助线的前提下 要使 ABC ADC 只需要再添加的一个条件可以是 DC BC 或 DAC BAC 或 D B 90 4 2015 武汉市 如图 点B C E F在同一直线上 BC EF AC BC于点C DF EF于点F AC DF 求证 1 ABC DEF 2 AB DE 证明 1 AC BC于点C DF EF于点F ACB DFE 90 又 BC EF AC DF ABC DEF SAS 2 由 1 得 ABC DEF B DEF AB DE 考点一 全等图形及全等三角形 1 两个能够完全 的图形称为全等图形 全等图形的形状和大小都相同 2 能够完全 的两个三角形叫全等三角形 温馨提示 完全重合有两层含义 1 图形的形状相同 2 图形的大小相等 重合 重合 考点二 全等三角形的性质 3 全等三角形的对应边 全等三角形的对应角 4 全等三角形的对应边上的高 全等三角形的对应边上的中线 全等三角形的对应角的角平分线 相等 相等 相等 相等 相等 考点三 三角形全等的判定方法 5 三条边对应相等的两个三角形全等 简记为 边边边 或 6 两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简记为 边角边 或 7 两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简记为 角边角 或 SSS SAS ASA 8 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 简记为 角角边 或 温馨提示 这四个判定无论用哪种方法 都要有三组元素对应相等 且其中至少要有一组对应边相等 9 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简记为 斜边 直角边 或 温馨提示 这个判定的前提必须是直角三角形 AAS HL 考点四 利用 尺规 作三角形 10 已知三角形的三条边 求作三角形 11 已知三角形的两条边及其夹角 求作三角形 12 已知三角形的两个角及其夹边 求作三角形 13 已知三角形一条直角边和斜边 求作三角形 例1 2013 广东省 如图 已知 ABCD 1 作图 延长BC 并在BC的延长线上截取线段CE 使得CE BC 用尺规作图 保留作图痕迹 不要求写作法 2 在 1 的条件下 连接AE 交CD于点F 求证 AFD EFC 分析 此题必须先通过尺规准确地作出图形 然后利用CE BC 平行四边形对边相等的性质得到AD BC CE 再利用AD BC可得到内错角相等以及图形中的对顶角 从而证得三角形全等 答案 1 如图所示 线段CE为所求 2 证明 四边形ABCD是平行四边形 AD BC AD BC DAF CEF CE BC AD CE 又 CFE DFA AFD EFC AAS 例2 2016 铜仁市 如图 在 ABC中 AC BC C 90 D是AB边的中点 DE DF 点E F分别在AC BC上 求证 DE DF 分析 连接CD 构建全等三角形 证明 ECD FBD即可 证明 如图 连接CD C 90 D是AB的中点 CD AB BD AC BC CD AB ACD B 45 CDF BDF 90 ED DF EDF 90 EDC CDF 90 EDC BDF ECD FBD SAS DE DF 点评 本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定 运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 以及等腰三角形三线合一的性质 同时要熟知等腰直角三角形的特殊性 两个锐角都是45 在全等三角形的证明中 常运用同角的余角相等来证明角相等 例3 2015 广东省 如图 在边长为6的正方形ABCD中 E是边CD的中点 将 ADE沿AE对折至 AFE 延长EF交BC于点G 连接AG 1 求证 ABG AFG 2 求BG的长 分析 1 由正方形性质可知AD AB B D 90 由折叠性质可得AD AF D AFE 90 于是有AB AF AG AG B AFG 90 利用 HL 可证得全等 2 由 1 全等得BG GF 可设BG GF x 以Rt CGE为基础 利用勾股定理可得方程 即可求出BG的长 答案 证明 四边形ABCD是正方形 B D 90 AD AB 由折叠的性质可知AD AF AFE D 90 AFG 90 AB AF AFG B 又 AG AG ABG AFG HL 2 解 ABG AFG BG FG 设BG FG x 则GC 6 x E为CD的中点 CE EF DE 3 EG x 3 32 6 x 2 x 3 2 解得x 2 即BG 2 点评 折叠问题在中考很常见 折叠实质对应着全等 把握全等的本质找出对应的边 角是本题证全等的关键所在 再利用全等三角形的对应边相等 结合勾股定理 方程思想 就可以求出所求的边 此题属于中等难度的题 需要认真分析