8 2空间点 直线 平面之间的位置关系 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 四个公理公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的 公理3 经过的三点 有且只有一个平面 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相 知识梳理 两点 一条直线 不在同一条直线上 平行 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 平行 相交 任何 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任意一点O 作直线a a b b 把直线a 与b 所成的叫做异面直线a b所成的角 范围 锐角 或直角 3 直线与平面的位置关系有 三种情况 4 平面与平面的位置关系有 两种情况 5 等角定理如果一个角的两边和另一个角的 那么这两个角相等 直线在平面内 直线与平面相交 直线与 平面平行 平行 相交 两边分别平行并且方向相同 1 唯一性定理 1 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 3 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 4 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2 异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 2 两个平面 有一个公共点A 就说 相交于过A点的任意一条直线 3 两个平面ABC与DBC相交于线段BC 4 经过两条相交直线 有且只有一个平面 5 没有公共点的两条直线是异面直线 考点自测 1 下列命题中正确的个数为 梯形可以确定一个平面 若两条直线和第三条直线所成的角相等 则这两条直线平行 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 答案 解析 中两直线可以平行 相交或异面 中若三个点在同一条直线上 则两个平面相交 正确 2 2 2016 无锡模拟 已知a b c是空间的三条直线 给出下列四个命题 若a b b c 则a c 若a b是异面直线 b c是异面直线 则a c也是异面直线 若a b相交 b c相交 则a c也相交 若a b共面 b c共面 则a c也共面 其中真命题的个数是 答案 0 3 已知l m n为不同的直线 为不同的平面 则下列判断正确的有 若m n 则m n 若m n 则m n 若 l m m 则m l 若 m n l m l n 则l 答案 解析 m n可能的位置关系为平行 相交 异面 故 错误 根据面面垂直与线面平行的性质可知 错误 根据线面平行的性质可知 正确 若m n 根据线面垂直的判定可知 错误 故只有 正确 4 教材改编 如图所示 已知在长方体ABCD EFGH中 AB AD AE 2 则BC和EG所成角的大小是 AE和BG所成角的大小是 答案 解析 45 60 BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即 EGF tan EGF 1 EGF 45 AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即 GBF GBF 60 5 已知空间四边形ABCD中 M N分别为AB CD的中点 则下列判断 MN AC BD MN AC BD MN AC BD MN AC BD 其中正确的是 答案 解析 如图 取BC的中点O 连结MO NO MN 则OM AC ON BD 在 MON中 MN OM ON AC BD 正确 题型分类深度剖析 题型一平面基本性质的应用例1 1 2016 山东 已知直线a b分别在两个不同的平面 内 则 直线a和直线b相交 是 平面 和平面 相交 的 条件 答案 解析 充分不必要 若直线a和直线b相交 则平面 和平面 相交 若平面 和平面 相交 那么直线a和直线b可能平行或异面或相交 2 已知空间四边形ABCD 如图所示 E F分别是AB AD的中点 G H分别是BC CD上的点 且CG BC CH DC 求证 E F G H四点共面 证明 连结EF GH 如图所示 E F分别是AB AD的中点 EF BD 又 CG BC CH DC EF GH E F G H四点共面 GH BD 三直线FH EG AC共点 证明 易知FH与直线AC不平行 但共面 设FH AC M M 平面EFHG M 平面ABC 又 平面EFHG 平面ABC EG M EG FH EG AC共点 几何画板展示 共面 共线 共点问题的证明 1 证明点或线共面问题的两种方法 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 2 证明点共线问题的两种方法 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 3 证明线共点问题的常用方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 思维升华 跟踪训练1如图 平面ABEF 平面ABCD 四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形 BAD FAB 90 BC AD且BC AD BE AF且BE AF G H分别为FA FD的中点 1 证明 四边形BCHG是平行四边形 证明 由已知FG GA FH HD 可得GH綊AD 又BC綊AD GH綊BC 四边形BCHG为平行四边形 2 C D F E四点是否共面 为什么 解答 BE綊AF G是FA的中点 BE綊FG 四边形BEFG为平行四边形 EF BG 由 1 知BG綊CH EF CH EF与CH共面 又D FH C D F E四点共面 题型二判断空间两直线的位置关系例2 1 2015 广东改编 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 l与l1 l2都不相交 l与l1 l2都相交 l至多与l1 l2中的一条相交 l至少与l1 l2中的一条相交 答案 解析 若l与l1 l2都不相交 则l l1 l l2 l1 l2 这与l1和l2异面矛盾 l至少与l1 l2中的一条相交 2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是BC1 CD1的中点 则下列判断错误的是 MN与CC1垂直 MN与AC垂直 MN与BD平行 MN与A1B1平行 连结B1C B1D1 如图所示 则点M是B1C的中点 MN是 B1CD1的中位线 MN B1D1 又BD B1D1 MN BD CC1 B1D1 AC B1D1 MN CC1 MN AC 又 A1B1与B1D1相交 MN与A1B1不平行 答案 解析 几何画板展示 3 在图中 G N M H分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线GH MN是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 答案 解析 图 中 直线GH MN 图 中 G H N三点共面 但M 平面GHN 因此直线GH与MN异面 图 中 连结MG GM HN 因此GH与MN共面 图 中 G M N共面 但H 平面GMN 因此GH与MN异面 所以图 中GH与MN异面 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 思维升华 跟踪训练2 1 已知a b c为三条不重合的直线 有下列结论 若a b a c 则b c 若a b a c 则b c 若a b b c 则a c 其中正确的个数为 答案 解析 1 在空间中 若a b a c 则b c可能平行 也可能相交 还可能异面 所以 错 显然成立 2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 点M AB1 N BC1 且AM BN 有以下四个结论 AA1 MN A1C1 MN MN 平面A1B1C1D1 MN与A1C1是异面直线 其中正确结论的序号是 注 把你认为正确结论的序号都填上 答案 解析 过N作NP BB1于点P 连结MP 可证AA1 平面MNP AA1 MN 正确 过M N分别作MR A1B1 NS B1C1于点R S 则当M不是AB1的中点 N不是BC1的中点时 直线A1C1与直线RS相交 当M N分别是AB1 BC1的中点时 A1C1 RS A1C1与MN可以异面 也可以平行 故 错误 由 正确知 AA1 平面MNP 而AA1 平面A1B1C1D1 平面MNP 平面A1B1C1D1 故 正确 综上所述 其中正确的序号是 题型三求两条异面直线所成的角例3 2016 南京模拟 如图 四边形ABCD和ADPQ均为正方形 它们所在的平面互相垂直 则异面直线AP与BD所成的角为 答案 解析 如图 将原图补成正方体ABCD QGHP 连结GP 则GP BD 所以 APG为异面直线AP与BD所成的角 在 AGP中 AG GP AP 所以 APG 引申探究在本例条件下 若E F M分别是AB BC PQ的中点 异面直线EM与AF所成的角为 求cos 的值 解答 设N为BF的中点 连结EN MN 则 MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角 不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4 在 MEN中 由余弦定理得 即cos 用平移法求异面直线所成的角的三步法 1 一作 根据定义作平行线 作出异面直线所成的角 2 二证 证明作出的角是异面直线所成的角 3 三求 解三角形 求出作出的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角 思维升华 跟踪训练3 2016 盐城模拟 已知正四面体ABCD中 E是AB的中点 则异面直线CE与BD所成角的余弦值为 答案 解析 画出正四面体ABCD的直观图 如图所示 设其棱长为2 取AD的中点F 连结EF 设EF的中点为O 连结CO 则EF BD 则 FEC就是异面直线CE与BD所成的角 ABC为等边三角形 则CE AB 易得CE 同理可得CF 故CE CF 因为OE OF 所以CO EF 所以cos FEC 典例已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 有下列四个命题 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中所有正确的命题是 构造模型判断空间线面位置关系 思想与方法系列16 思想方法指导 答案 解析 本题可通过构造模型法完成 构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型 然后将问题利用模型直观地作出判断 这样减少了抽象性 避免了因考虑不全面而导致解题错误 对于线面 面面平行 垂直的位置关系的判定 可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断 返回 借助于长方体模型来解决本题 对于 可以得到平面 互相垂直 如图 1 所示 故 正确 对于 平面 可能垂直 如图 2 所示 故 不正确 对于 平面 可能垂直 如图 3 所示 故 不正确 对于 由m 可得m 因为n 所以过n作平面 且 g 如图 4 所示 所以n与交线g平行 因为m g 所以m n 故 正确 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 设a b是两条不同的直线 是两个不同的平面 a b 则 是 a b 的 条件 答案 解析 充分不必要 若a b 则由 b b 又a 所以a b 若a b a b 则b 或b 或b 此时 或 与 相交 所以 是 a b 的充分不必要条件 2 2016 南京 盐城一模 现有如下命题 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 如果两个平行平面和第三个平面相交 那么所得的两条交线平行 如果两个平面相互垂直 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内 其中正确的命题是 填序号 答案 解析 过平面外一点有无数条直线与该平面平行 故 错 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 镇