3 3几何概型3 3 1几何概型 自主预习 主题1 几何概型的定义根据下列试验回答问题 赌博游戏 甲乙两赌徒掷骰子 规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜 转盘游戏 图中有两个转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向B区域时 甲获胜 否则乙获胜 1 两个试验的结果有何特点 它们是古典概型吗 为什么 提示 第一个试验包含的基本事件数是有限个 且每个事件的发生是等可能的 所以第一个试验满足古典概型 第二个试验指针指向圆弧上哪一点均是等可能的 基本事件数是无限多个 虽然每个事件发生也是等可能的 但不满足古典概型 2 在两种转盘游戏中 甲获胜的概率与字母B所在的扇形区域的哪个因素有关 哪个因素无关 提示 与扇形的弧长 或面积 有关 与扇形区域所在的位置无关 总结以上探究 写出几何概型的定义及特点 定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 或 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称为 长度 面积 体积 几何概型 特点 1 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有 2 每个基本事件出现的可能性 无限多个 相等 主题2 几何概型概率的计算公式1 在主题1中的两个试验中概率的求法一样吗 你又是如何解决这些问题的 提示 不一样 第一个试验骰子的六个面上的数字是有限个的 且每次投掷都是等可能的 因而可以利用古典概型公式求解 第二个试验指针指向的每个方向都是等可能的 但指针所指的方向却是无限个的 因而无法利用古典概型求解 但可以借助几何图形的长度 面积比等分析概率 2 有一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少 你是怎样计算的 提示 从每一个位置剪断都是一个基本事件 剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点 如图 记 剪得两段的长都不小于1m 为事件A 把绳子三等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件A发生 由于中间一段的长度等于绳长的 于是事件A发生的概率P A 通过以上探究 试着总结出几何概型的概率计算公式 P A 深度思考 结合教材P136例1你认为求与长度有关的几何概型的步骤有哪些 第一步 第二步 第三步 代入公式求解P A 首先找到试验的全部结果所构成的区域长度I 找出事件A所构成的区域长度I0 预习小测 1 下列关于几何概型的说法错误的是 A 几何概型也是古典概型中的一种B 几何概型中事件发生的概率与位置 形状无关C 几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D 几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个 解析 选A 几何概型与古典概型是两种不同的概型 故A错误 其余选项均正确 2 下列概率模型中 是几何概型的有 1 从区间 10 10 内任取出一个数 求取到1的概率 2 从区间 10 10 内任取出一个数 求取到绝对值不大于1的数的概率 3 从区间 10 10 内任取出一个数 求取到大于1而小于2的数的概率 4 向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P 求点P离中心不超过1cm的概率 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 选C 1 中的概率模型不是几何概型 因为虽然区间 10 10 中有无限多个点 但取到1只是1个数字不能构成区域 2 中的概率模型是几何模型 3 中的概率模型是几何概型 4 中的概率模型是几何概型 3 一个红绿灯路口 红灯亮的时间为30秒 黄灯亮的时间为5秒 绿灯亮的时间为45秒 当你到达路口时 恰好看到黄灯亮的概率是 解析 选C 设看到黄灯亮为事件A 构成事件A的 长度 等于5 试验的全部结果所构成的区域长度是30 5 45 80 所以P A 4 面积为S的 ABC D是BC的中点 向 ABC内部投一点 那么点落在 ABD内的概率为 解析 向 ABC内部投一点的结果有无限个 属于几何概型 设点落在 ABD内为事件M 则P M 答案 5 如图 边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域 在正方形中随机撒一粒豆子 它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 解析 由几何概型的概率公式知答案 补偿训练 取一根长为5m的绳子 拉直后在任意位置剪断 求剪得两段的长都不小于2m的概率 仿照教材P136例1的解析过程 解析 如图所示 记 剪得两段绳长都不小于2m 为事件A 把绳子五等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件A发生 由于中间一段的长度等于绳长的 所以事件A发生的概率P A 互动探究 1 几何概型的基本事件有无数多个吗 提示 是 这也是几何概型与古典概型的区别之一 2 几何概型与古典概型有什么区别 提示 古典概型要求随机试验所包含的所有基本事件的个数必须是有限多个 几何概型要求随机试验所包含的基本事件应当是无限多个 而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关 3 利用几何概型概率公式求解的关键是什么 提示 关键是找到构成事件A及试验全部结果构成的区域长度 面积或体积 4 在几何概型中 概率为0的事件一定是不可能事件 概率为1的事件一定是必然事件 这种说法正确吗 为什么 提示 不正确 如果随机事件所在区域是一个单点A 由于单点A的长度 面积 体积均为0 根据几何概型概率的计算公式 则该事件出现的概率为0 但它不是不可能事件 如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点A 则该事件出现的概率为1 但它不是必然事件 探究总结 知识归纳 注意事项 几何概型的两个关注点 1 基本事件的发生具有等可能性 2 基本事件有无数个 题型探究 类型一 几何概型的判断 典例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型 还是几何概型 1 抛掷两颗骰子 求出现两个 4点 的概率 2 某月某日 某个市区降雨的概率 3 设A为圆周上一定点 在圆周上等可能地任取一点与A连接 求弦长超过半径的概率 4 从 0 10 中任取一个整数x 求x 3的概率 5 从 0 5 中任取一个数x 求x 3的概率 解题指南 根据几何概型的两大特征 基本事件的无限性与等可能性进行逐一判断 解析 1 抛掷两颗骰子 出现的所有可能结果有6 6 36种 且它们都是等可能的 因此属于古典概型 2 不是几何概型 因为它不具有等可能性 3 是几何概型 因为它具有无限性与等可能性 4 由题知 x可取的所有值为0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共11个基本事件 且由x的任意性知它们是等可能的 因此属于古典概型 5 由于在 0 5 中有无穷多个数 即基本事件有无限个 且由x的任意性知它们是等可能的 因此属于几何概型 规律总结 判断一个概率模型是古典概型还是几何概型的步骤 1 判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等 若不相等 那么这个概率模型既不是古典概型也不是几何概型 2 如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等 再判断试验结果的有限性 当试验结果有有限个时 这个概率模型是古典概型 当试验结果有无限个时 这个概率模型是几何概型 巩固训练 下列概率问题中属于几何概型的为 1 随机地向正方形内掷硬币30次 统计硬币正面朝上的概率 2 从一批产品中抽取50件进行检验 有5件次品 求正品的概率 3 箭靶的直径为60cm 其中 靶心的直径只有12cm 任意向靶射箭 射中靶心的概率为多少 解析 根据古典概型和几何概型的特点 知 1 2 为古典概型 3 为几何概型 答案 3 类型二 与长度或角度有关的概率问题 典例2 1 在等腰直角三角形ABC中 过直角顶点C在 ACB内部任作一射线CM 与线段AB交于点M 则AM AC的概率为 2 在半径为1的圆的一条直径上任取一点 过这个点作垂直于直径的弦 则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是 解题指南 1 设A表示在 ACB内部任作一射线CM 与线段AB交于点M AM AC 由于过直角顶点C在 ACB内部任作一射线CM 故可以认为所有可能结果的区域为 ACB 可将事件A构成的区域表示为 ACC 以角度为 测度 来计算 2 首先找出垂直于直径的弦长等于圆内接等边三角形边长的位置 从而找出满足条件的长度 解析 1 在AB上取AC AC 则 ACC 67 5 记A表示在 ACB内部任作一射线CM 与线段AB交于点M AM AC 则所有可能结果的区域为 ACB 事件A构成的区域为 ACC 又 ACB 90 ACC 67 5 所以P A 故AM AC的概率为 答案 2 记 弦长超过圆内接等边三角形的边长 为事件A 如图所示 不妨在过等边 BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦 当弦为CD时 就是等边三角形的边长 弦长大于CD等价于圆心O到弦的距离小于OF 由几何概型的概率公式得P A 答案 延伸探究 1 改变问法 若将本例 1 改为 在等腰Rt ABC中 在斜边AB上任取一点M 求 AM AC 的概率 答案还一样吗 解析 不一样 这时M点可取遍AC 长度与AC相等 上的点 故此事件的概率应为 2 改变问法 其他条件不变 将本例 1 改为 1 在线段BC上任取一点M 求使 CAM 30 的概率 2 在 CAB内任作射线AM 求使 CAM 30 的概率 解析 1 设CM x 则0 x a 不妨设BC a 若 CAM 30 则0 x 故 CAM 30 的概率为 2 设 CAM 则0 45 若 CAM 30 则0 30 故 CAM 30 的概率为P B 规律总结 1 与长度有关的概率求解步骤 2 与角度有关的两种几何概型 1 涉及射线的转动问题 2 扇形中有关落点区域的问题 常以角度的大小作为区域的度量标准进行概率的计算 巩固训练 在长为12cm的线段AB上任取一点C 现作一矩形 邻边长分别等于线段AC CB的长 则该矩形面积小于32cm2的概率为 解析 选C 设其中一段AC长为xcm 则另一段BC长为 12 x cm 其中0 x 12 由题意x 12 x 32 0 x 4或8 x 12 则点C的选取长度为4 4 8 故概率为 类型三 与面积或体积有关的概率问题 典例3 2016 大连高一检测 设有关于x的一元二次方程x2 2ax b2 0 1 若a是从0 1 2 3四个数中任取的一个数 b是从0 1 2三个数中任取的一个数 求上述方程有实根的概率 2 若a是从区间 0 3 任取的一个数 b是从区间 0 2 任取的一个数 求上述方程有实根的概率 解题指南 1 该题是古典概型问题 利用古典概型的有关知识求解 2 该题是几何概型问题 解答本题可先求出试验的全部结果构成的平面区域的面积S 再求出构成事件A的区域面积S1 进而代入公式P A 即可 解析 设事件A为 方程x2 2ax b2 0有实根 当a 0 b 0时 方程x2 2ax b2 0有实根的充要条件为a b 1 基本事件共有12个 0 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 其中第一个数表示a的取值 第二个数表示b的取值 事件A中包含9个基本事件 故事件A发生的概率为P A 2 试验的全部结果所构成的区域为 a b 0 a 3 0 b 2 构成事件A的区域为 a b 0 a 3 0 b 2 a b 所以所求的概率为P A 规律总结 求解与面积或体积有关的几何概型问题的步骤 巩固训练 如图 EFGH是以O为圆心 半径为1的圆的内接正方形 将一颗豆子随机地扔到该圆内 用A表示事件 豆子落在正方形EFGH内 则P A 解析 选D 豆子落在正方形EFGH内是随机的 故可以认为豆子落在正方形EFGH内任一点是等可能的 属于几何概型 因为圆的半径为1 所以正方形EFGH的边长是 则正方形EFGH的面积是2 又圆的面积是 所以P A