第 1 页 共 16 页 高考数学二模试卷 理科 高考数学二模试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 若集合 A x 3 2x 1 B x 4x 3x2 0 则 A B A 1 2 B C 0 1 D 1 2 已知 i 为虚数单位 若复数的实部与虚部相等 则 a 的值为 A 2B C D 2 3 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 a3 6 S10 100 则 a5 A 8B 9C 10D 11 4 为比较甲 以两名篮球运动员的近期竞技状态 选取这两名球员最近五场比赛的得 分制成如图所示的茎叶图 有以下结论 甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数 甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数 从最近五场比赛的得分看 乙比甲更稳定 从最近五场比赛的得分看 甲比乙更稳定 其中所有正确结论的编号为 A B C D 5 根据如下样本数据 x34567 y4 02 5 0 50 5 2 0 得到的回归方程为 若 a 7 9 则 x 每增加 1 个单位 y 就 A 增加 1 4 个单位B 减少 1 4 个单位C 增加 1 2 个单 位D 减少 1 2 个单位 6 已知 x y 满足约束条件则 z 2x y 的取值范 围是 A 2 4 B 4 6 C 2 6 D 2 7 执行如图所示的程序框图 若输入的 S 12 则输出的 S A 8 B 18 C 5 D 6 第 2 页 共 16 页 8 已知数列 an 的奇数项依次成等差数列 偶数项依次成等比数列 且 a1 1 a2 2 a3 a4 7 a5 a6 13 则 a7 a8 A 4B 19C 20D 23 9 设双曲线的左 右焦点分别为 F1 F2 P 是双曲线上一点 点 P 到坐标原点 O 的距离等于双曲线焦距的一半 且 PF1 PF2 4a 则双曲线的 离心率是 A B C D 10 已知函数 f x g x f x ax a 若 g x 恰有 1 个零点 则 a 的取值范围是 A 1 0 1 B 1 0 1 C 1 1 D 1 1 11 如图 在下列四个正方体中 P R Q M N G H 为所在棱的中点 则在这四 个正方体中 阴影平面与 PRQ 所在平面平行的是 A B C D 12 若函数 在上单调递增 则实数 a 的取值范围为 A B C a 1D 1 a 3 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 第 3 页 共 16 页 13 如图 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 点 P 为棱 AA1 上任意一点 则四棱锥 P BDD1B1的体积为 14 某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目 且在同一个城市投资的项目不 超过 2 个 则该外商不同的投资方案有 种 15 抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 动点 P 在抛物线 C 上 点 A 1 0 当 取得最 小值时 直线 AP 的方程为 16 如图 在 ABC 中 为 CD 上一点 且满足的面积为 则的最小值为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 已知函数 1 求函数 f x 的单调递增区间 2 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 求 a 的值 18 如图 正方形 ABCD 边长为 a 平面 ABCD 平面 CED 1 证明 AE EC 2 求二面角 A DE B 的余弦值 第 4 页 共 16 页 19 某社区为了解居民参加体育锻炼情况 随机抽取 18 名男性居民 12 名女性居民对 他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查 现按参加体育锻炼的情况将居民分成 3 类 甲类 不参加体育锻炼 乙类 参加体育锻炼 但平均每周参加体育锻炼的时 间不超过 5 个小时 丙类 参加体育锻炼 且平均每周参加体育锻炼的时间超过 5 个小时 调查结果如下表 甲类乙类丙类 男性居民3123 女性居民633 1 根据表中的统计数据 完成下面列联表 并判断是否有 90 的把握认为参加 体育锻炼与否与性别有关 男性居民女性居民总计 不参加体育锻炼 参加体育锻炼 总计 2 从抽出的女性居民中再随机抽取 3 人进一步了解情况 记 X 为抽取的这 3 名 女性居民中甲类和丙类人数差的绝对值 求 X 的数学期望 附 P K2 k0 0 100 050 01 k02 7063 8416 635 第 5 页 共 16 页 20 已知椭圆 的右顶点为 A 左焦点为 F1 离心率 过点 A 的直线与椭圆交于另一个点 B 且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1 若 1 求椭圆 C 的标准方程 2 过圆 E x2 y2 4 上任意一点 P 作圆 E 的切线 l l 与椭圆交于 M N 两点 以 MN 为直径的圆是否过定点 如过定点 求出该定点 若不过定点 请说明理由 21 已知函数 f x x m lnx m 0 1 若函数 f x 存在极小值点 求 m 的取值范围 2 证明 f x m ex cosx 1 22 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的方程为 以坐标原点 O 为极 点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 2 sin cos 1 求曲线 C 的普通方程 2 过点 P 1 0 作直线 l 的垂线交曲线 C 于 M N 两点 求的值 23 已知函数 f x 2x a a R 1 当 a 4 时 解不等式 f x 8 x 1 2 若不等式 f x 8 2x 1 有解 求 a 的取值范围 第 6 页 共 16 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 分析 本题考查交集的求法 考查交集定义 不等式性质等基础知识 考查运算求解能力 是 基础题 先分别求出集合 A B 由此能求出 A B 解答 解 集合 A x 3 2x 1 x x 1 B x 4x 3x2 0 x 0 A B x 1 x 故选 B 2 答案 C 解析 解 的实部与虚部相等 4 a 2a 2 即 a 故选 C 利用复数代数形式的乘除运算化简 再由实部与虚部相等列式求得 a 值 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 是基础题 3 答案 B 解析 分析 本题考查等差数列的通项公式与求和公式 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d a1 a3 6 S10 100 2a1 2d 6 10a1 d 100 联立解得 a1 1 d 2 则 a5 1 2 4 9 故选 B 4 答案 C 解析 解 甲的中位数为 29 乙的中位数为 30 故 不正确 甲的平均数为 29 乙的平均数为 30 故 正确 从比分来看 乙的高分集中度比甲的高分集中度高 故 正确 不正确 故选 C 根据中位数 平均数 方差的概念计算比较可得 本题考查了茎叶图 属基础题 5 答案 B 第 7 页 共 16 页 解析 解 设变量 x y 的平均值为 5 0 9 样本中心点 5 0 9 0 9 5 b 7 9 b 1 4 x 每增加 1 个单位 y 就减少 1 4 故选 B 首先 根据所给数据 计算样本中心点 5 0 9 然后 将改点代人回归方程 得到 b 1 4 从而得到答案 本题重点考查了回归直线方程的特征 回归直线方程中回归系数的意义等知识 属于中 档题 6 答案 C 解析 解 由 x y 满足约束条件 作出可行域如图 联立 解得 A 2 2 B 0 2 化目标函数 z 2x y 为 y 2x z 由图可知 当直线 y 2x z 过 B 时 直线在 y 轴 上的截距最小 z 有最小值为 2 当直线 y 2x z 过 A 时 直线在 y 轴上的截距最 大 z 有最大值为 6 z 的取值范围是 2 6 故选 C 由约束条件作出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合得到最优解 联立 方程组求得最优解的坐标 代入目标函数得答案 本题考查简单的线性规划 考查了数形结合的解题思想方法 是中档题 7 答案 A 解析 解 模拟程序的运行 可得 S 12 n 1 执行循环体 S 10 n 2 不满足条件 S n 0 执行循环体 S 6 n 3 不满足条件 S n 0 执行循环体 S 0 n 4 不满足条件 S n 0 执行循环体 S 8 n 5 满足条件 S n 0 退出循环 输出 S 的值为 8 故选 A 关键框图的流程依次计算程序运行的结果 直到满足条件跳出循环 确定输出 S 的值 本题考查了循环结构的程序框图 关键框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类 问题的常用方法 属于基础题 第 8 页 共 16 页 8 答案 D 解析 解 数列 an 的奇数项依次成公差为 d 的等差数列 偶数项依次成公比为 q 的 等比数列 a1 1 a2 2 a3 a4 7 a5 a6 13 可得 1 d 2q 7 1 2d 2q2 13 解得 d q 2 则 a7 a8 1 3 2 2 23 23 故选 D 设等差数列的公差为 d 等比数列的公比为 q 由通项公式可得 d q 的方程组 解方程 可得 d q 进而得到所求和 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和运用 考查方程思想和运算能力 属于基础 题 9 答案 D 解析 解 点 P 到坐标原点 O 的距离等于双曲线焦距的一半 可得 PF1 PF2 可设 P 为双曲线右支上一点 可得 PF1 PF2 2a 又 PF1 PF2 4a 解得 PF1 3a PF2 a 可得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 即为 9a2 a2 4c2 可得 e 故选 D 由题意可得 PF1 PF2 可设 P 为双曲线右支上一点 可得 PF1 PF2 2a 结合条件和勾 股定理 以及离心率公式 计算可得所求值 本题考查双曲线的定义和性质 主要是离心率的求法 考查直角三角形的判断和勾股定 理的运用 以及方程思想和化简能力 属于中档题 10 答案 A 解析 分析 本题主要考查函数与方程的应用 利用参数分离 法 结合数形结合是解决本题的关键 综合性较 强 属于较难题 根据条件先判断 x 1 是函数 g x 的一个零点 等价于当 x 1 时 函数 f x a x 1 没有其他 根 利用参数分离法 利用数形结合进行求解即 可 解答 解 由 g x f x ax a 0 得 f x a x 1 f 1 1 3 2 0 g 1 f 1 a a 0 即 x 1 是 g x 的一个零点 若 g x 恰有 1 个零点 则当 x 1 时 函数 f x a x 1 没有其他根 第 9 页 共 16 页 即 a 没有根 当 x 1 时 设 h x x 2 此时函数 h x 为增函数 则 h 1 1 即此时 h x 1 当 x 1 时 h x h x 0 此时 h x 为减函数 此时 h x 0 且 h 1 1 即 0 h x 1 作出函数 h x 的图象如图 则要使 a 没有根 则 a 1 或 1 a 0 即实数 a 的取值范围是 1 0 1 故选 A 11 答案 D 解析 分析 本题考查面面平行的判断定理的应用 平面的基本性质的应用 属于基本知识的考查 利用平面的基本性质作出经过 P Q R 三点的平面 然后判断选项的正误即可 解答 解 由题意可知经过 P Q R 三点的平面如图 可知 N 在经过 P Q R 三点的平面上 所以 B C 错误 MC1与 QE 是相交直线 所以 A 不正确 故选 D 12 答案 A 解析 分析 本题考查了导函数研究原函数的单调性的运用能力 属于中档题 利用导函数的性质研 究原函的单调性即可得答案 解答 解 函数 则 f x sin2x 2a cosx sinx 4a 3 函数 f x 在上单调递增 可得 f 0 0 且 f 0 即 解得 a 第 10 页 共 16 页 实数 a 的取值范围为 故选 A 13 答案 解析 分析 四棱锥 P AA1C1C 的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积 本题考查了正方体的结构特征 棱锥的体