第 1 页 共 17 页 高考数学二诊试卷 文科 高考数学二诊试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知 i 是虚数单位 复数 z 满足 zi 1 2i 则 z 的虚部为 A iB 1C 1D i 2 集合 A 1 2 B x ax 2 0 若 B A 则由实数 a 组成的集合为 A 2 B 1 C 2 1 D 2 1 0 3 已知 则 A 7B 7C D 4 已知向量 的夹角为 120 且 则 在 方向上的投影等于 A B C D 5 某学校在校艺术节活动中 有 24 名学生参加了学校组织的唱歌比赛 他们比赛的 成绩的茎叶图如图所示 将他们的比赛成绩从低到高编号为 1 24 号 再用系统抽 样方法抽出 6 名同学到某音乐学院参观学习 则样本中比赛成绩不超过 85 分的学 生人数为 A 1B 2C 3D 不确定 6 已知等比数列 an 的各项均为正数 且 3a1 2a2成等差数列 则 A 1B 3C 6D 9 7 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 是 BC 的中点 则异面直线 CD 和 D1E 所成 角的余弦值为 A B C D 第 2 页 共 17 页 8 如图是一个空间几何体的三视图 则该几何体的表 面三角形中为直角三角形的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 9 已知函数 f x 是定义在 1 2b b 上的偶函数 且在 0 b 上为单调函数 则方程 的解集为 A 1 B C D 10 在 ABC 中 点 P 满足 过点 P 的直线与 AB AC 所在的直线分别交于点 M N 若 0 则 2 的最小值为 A B 3C D 4 11 已知 同时满足下列三个条件 T 是奇函数 若 f x 在 0 t 上没有最小值 则实数 t 的取值范围 是 A B C D 12 定义在 t 上的函数 f x g x 单调递增 f t g t M 若对任意 k M 存在 x1 x2 x1 x2 使得 f x1 g x2 k 成立 则称 g x 是 f x 在 t 上的 追逐函数 若 f x x2 则下列四个命题 g x 2x 1 是 f x 在 1 上的 追逐函数 若 g x lnx m 是 f x 在 1 上 的 追逐函数 则 m 1 是 f x 在 1 上的 追逐函数 当 m 1 时 存在 t m 使得 g x 2mx 1 是 f x 在 t 上的 追逐函数 其中正确的命题为 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 2x 3 则 x y 14 已知变量 x y 满足 则 z x y 的最小值为 15 在 ABC 中 边 a b c 所对的角分别为 A B C ABC 的面积 S 满足 若 a 2 则 ABC 外接圆的面积为 第 3 页 共 17 页 16 已知 若关于 x 的方程 f2 x mf x m 1 0 恰好有 4 个不相等的实数 解 则实数 m 的取值范围为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 已知数列 an 中 a1 1 求数列 an 的通项公式 设 求数列 bn 的通项公式及其前 n 项和 Tn 18 某种设备随着使用年限的增加 每年的维护费相应增加 现对一批该设备进行调查 得到这批设备自购入使用之日起 前 5 年平均每台设备每年的维护费用大致如表 年份 x 年 12345 维护费 y 万 元 1 11 62m2 8 已知 求表格中 m 的值 从这 5 年中随机抽取两年 求平均每台设备每年的维护费用至少有 1 年多于 2 万元的概率 求 y 关于 x 的线性回归方程 并据此预测第几年开始平均每台设备每年的维 护费用超过 5 万元 参考公式 用最小二乘法求线性回归方程的系数公式 19 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD BAD 为直角 AB CD AD CD AP 2AB 2 E F 分别为 PC CD 的中点 第 4 页 共 17 页 证明 平面 APD 平面 BEF 求三棱锥 P BED 的体积 20 已知抛物线 C y2 2px p 0 上一点 P 4 t t 0 到焦点 F 的距离等于 5 求抛物线 C 的方程和实数 t 的值 若过 F 的直线交抛物线 C 于不同两点 A B 均与 P 不重合 直线 PA PB 分别交抛物线的准线 l 于点 M N 求证 MF NF 21 已知函数 若 f x 在 A 1 f 1 处取得极值 求过点 A 且与 f x 在 x a 处的 切线平行的直线方程 当函数 f x 有两个极值点 x1 x2 x1 x2 且 x1 1 时 总有 成立 求实数 m 的取值范围 22 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 为参数 以原 点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 P 点的极坐标为 斜率为 1 第 5 页 共 17 页 的直线 l 经过点 P 求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程 设直线 l 与曲线 C 相交于 A B 两点 求线段 AB 的长 23 已知函数 f x ln 3 x 1 2x 1 求函数 f x 的定义域 D 证明 当 a b D 时 a b 1 ab 第 6 页 共 17 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 解 i 是虚数单位 复数 z 满足 zi 1 2i z 2 i 则 z 的虚部为 1 故选 B 利用复数的运算法则 求出复数的标准形式 即可得到结果 本题考查复数的代数形式的运算 复数的基本概念 是基本知识的考查 2 答案 D 解析 解答 解 集合 A 1 2 B x ax 2 0 B A B 或 B 1 或 B 2 a 0 1 2 由实数 a 组成的集合为 2 1 0 故选 D 本题首先认清集合 B 的元素 带入方程 ax 2 0 求解 a 即可 本题属于以一元一次方程为依托 求集合的相等关系的基础题 也是高考常会考的题型 3 答案 C 解析 解 由 得 cos 则 tan 故选 C 由已知求得 tan 然后展开两角和的正切求解 本题考查三角函数的化简求值 考查同角三角函数基本关系式及两角和的正切 是基础 题 4 答案 C 解析 分析 利用向量的数量积公式 转化求解 在 方向上的投影即可 本题考查向量的数量积的应 用 考查转化思想以及计算能力 解答 解 向量 的夹角为 120 且 则 在 方向上的投影 2 故选 C 5 答案 B 第 7 页 共 17 页 解析 解 根据题意知抽样比例为 24 6 4 结合图中数据知样本中比赛成绩不超过 85 分的学生人数为 6 2 人 故选 B 计算系统抽样比例值 再结合图中数据求出抽取的学生人数 本题考查了抽样方法的简单应用问题 是基础题 6 答案 D 解析 解 设等比数列 an 的公比为 q 则 各项均为正数的等比数列 an 3a1 2a2成等差数列 a3 2a2 3a1 q2 2q 3 0 q 0 q 3 q2 9 故选 D 利用各项均为正数的等比数列 an 3a1 2a2成等差数列 建立方程 即可求出等 比数列 an 的公比 然后求解即可 本题考查等差数列的性质 考查学生的计算能力 比较基础 7 答案 A 解析 解 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz 设正方体 ABCD A1B1C1D1中棱长 为 2 则 C 0 2 0 D 0 0 0 D1 0 0 2 E 1 2 0 0 2 0 1 2 2 设异面直线 CD 和 D1E 所成角为 则 cos 异面直线 CD 和 D1E 所成角的 余弦值为 故选 A 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz 利用向量法能求出异面直线 CD 和 D1E 所成角 的余弦值 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法 考查空间中线线 线面 面面间的位置关系 等基础知识 考查运算求解能力 是中档题 第 8 页 共 17 页 8 答案 C 解析 解 由三视图可知 该几何体为一个三棱锥 P ABC 其中 PC 底面 ABC 底面 ABC 是一个三边分别为 2 的三角形 PC 2 由 可得 A 90 又 PC 底面 ABC PC BC PC AC 又三垂线定理可得 AB AC 因此该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为 4 故选 C 由三视图可知 该几何体为一个三棱锥 P ABC 其中 PC 底面 ABC 底面 ABC 是一个 三边分别为 2 的三角形 PC 2 利用勾股定理的逆定理 线面垂直的判定与 性质定理 三垂线定理即可判断出结论 本题考查了三棱锥的三视图 勾股定理的逆定理 线面垂直的判定与性质定理 三垂线 定理 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 9 答案 C 解析 解 根据题意 函数 f x 是定义在 1 2b b 上的偶函数 则 1 2b b 0 解可得 b 1 对于 f x2 和 f 2x 有 1 x2 1 且 1 2x 1 解可得 x 若 则有 x2 2x 或 x2 2x 若 x2 2x 即 x2 2x 1 0 解可得 x 1 若 x2 2x 即 x2 2x 0 解可得 x 或 又由 x 则 x 1 或 则方程的解集为 1 故选 C 根据题意 由偶函数的性质可得 1 2b b 0 解可得 b 1 即可得函数的定义域 据 此可得若等价于 x2 2x 或 x2 2x 解可得 x 的值 即可得 答案 本题考查函数奇偶性的性质以及应用 关键是求出 a b 的值 属于基础题 10 答案 A 解析 解 如图所示 又 2 第 9 页 共 17 页 2 又 P M N 三点共线 1 2 2 当且仅当 2 时取 2 的最小值是 故选 A 根据题意画出图形 结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理 即可求得 2 的 最小值 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题 是中档题 11 答案 D 解析 解 由题意 f x1 f x2 2 时 x1 x2 的最小值为 可得周期为 2 是奇函数 可得其中一个 那么 f x sin 2x 根据 f x 在 0 t 上没有最小值 x 0 t 2x 2t 可得 t 0 且 2t 解得 故选 D 根据 周期为 可得 2 由是奇函数 可得其中一个 那么 f x sin 2x 在根据 f x 在 0 t 上没有最小值 即可求解实数 t 的取值范围 本题考查了正弦函数的图象及性质的综合应用和计算能力 属于中档题 12 答案 B 解析 解 当 x 5 时 f 5 25 g 5 25 1 31 此时若 f x1 g x2 k 成 立 则 x1 x2 即 x1 x2不成立 故 g x 2x 1 不是 f x 在 1 上的 追逐函 数 故 错误 第 10 页 共 17 页 若 g x lnx m 是 f x 在 1 上的 追逐函数 则有 f 1 g 1 即 1 ln1 m 0 m 即 m 1 故 正确 2 则当 M 2 时 f x1 g x2 k 不成立 即是 f x 在 1 上不是 追逐函数 故 错误 由 x2 2mx 1 x2 2mx 1 0 得判别式 4m2 4 4 m2 1 m 1 判别式 0 当 m 1 时 判别式 0 即方程有两个不同的根 假设比较大的根为 t 则在 t 时 存在 t m 使得 x2 2mx 1 0 即 x2 2mx 1 即存在 x1 x2 x1 x2 使得 f x1 g x2 k 成立 故 正确 故正确的是 故选 B 分别根据 追逐函数 的定义检验当 f x1 g x2 k 成立时 x1 x2是否成立即可 本题主要考查命题的真假判断 结合 追逐函数 的定义检验当 f x1 g x2 k 成 立时 x1 x2是否成立是解决本题的关键 综合性较强 有一定的难度 13 答案 2 解析 解 2x 3 可得 x log23 则 x y log23 2 故答案为 2 2x 3 可得 x log23 再利用对数运算法则即可得出 本题考查了指数与对数运算法则 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 14 答案 3 解析 解 作出不等式组对应的平面