高考数学一模试卷（理科） 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设集合A=x|-1x8，B=x|52x17，则Z（AB）=（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 若z为纯虚数，且|z|=2，则=（）A. B. C. D. 3. 椭圆x2+=1的离心率为（）A. B. C. D. 4. 某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下表格：甲乙丙丁平均数59575957方差12121010根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 将函数f（x）=cos（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是（）A. B. C. 2D. 46. 函数f（x）=x2-2x-2-x的图象大致为（）A. B. C. D. 7. 若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为（）A. 2B. 8C. 16D. 208. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B. C. 3D. 9. 双曲线M与双曲线N：=1有共同的渐近线，且M经过抛物线y=-x2-4x的顶点，则M的方程为（）A. B. C. D. 10. 已知sin+3cos=-，则tan（+）=（）A. -2B. 2C. -D. 11. 在空间直角坐标系O-xyz中，A(0，0，1)，B(m2，0，0)，C(0，1，0)，D(1，2，1)，若四面体OABC的外接球的表面积为6，则异面直线OD与AB所成角的余弦值为A. B. C. D. 12. 已知函数f（x）=2x3-（6a+3）x2+12ax+16a2（a0）只有一个零点x0，且x00，则a的取值范围为（）A. （-，-）B. （-，0）C. （-，-）D. （-，0）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f（x）=lg（x-1）的值域为_14. 在ABC中，=，=x+y，则x-y=_15. 若（1-ax）（x-1）3的展开式中x的偶数次幂项的系数之和为-24，则a=_16. 瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为ABC的欧拉三角形如图，A1B1C1是ABC的欧拉三角形（H为ABC的垂心）已知AC=3，BC=2，tanACB=2，若在ABC内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等比数列的公比为2，且a4+a32=21（1）求an的通项公式；（2）若a10，求数列的前n项和Sn18. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1底面A1B1C1，ACAB，AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点（1）证明：EF平面BCC1B1（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值19. 某大型工厂有6台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修每台机器出现故障的概率为已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人（i）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（ii）以工厂每月获利的数学期望为决策依据试问该厂是否应再招聘1名维修工人？20. 在直角坐标系xOy中，曲线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1d2为定值（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？若存在，求以线段OP为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由21. 已知函数f(x)=xlnx+ax3-ax2，a（1）当a=0时，求f(x)的单调区间；（2）若函数g(x)=存在两个极值点x1，x2，求g(x1)+g(x2)的取值范围22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为cos2=sin（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，P（-1，2），求|PA|PB|23. 已知函数f（x）=|x-1|+|x+2|（1）求不等式f（x）13的解集；（2）若f（x）的最小值为k，且=1（m0），证明：m+n16答案和解析1.【答案】C【解析】解：；Z（AB）=5故选：C可求出集合B，然后进行交集的运算即可求出AB，从而得出Z（AB）考查描述法的定义，交集的运算，理解Z（M）的定义2.【答案】A【解析】解：由题意可知z=2i，则=故选：A由题意可知z=2i，然后代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题3.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查直接利用椭圆方程，得到a,b,进而求得c,求离心率即可【解答】解：椭圆x2+=1的a=2，b=1，c=，所以椭圆的离心率为=故选A4.【答案】D【解析】解：100米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好，方差越小发挥水平越稳定，故应选丁选手参加全省的比赛故选：D100米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好，方差越小发挥水平越稳定本题考查比赛选手的选择，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.【答案】B【解析】解：将函数f（x）=cos（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=cos（4x-）=cos（2x-），则g（x）的周期T=，故选：B根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，根据周期公式进行求解即可本题主要考查三角的图象和性质，求出函数g（x）的解析式结合周期公式是解决本题的关键比较基础6.【答案】B【解析】解：f（-x）=x2-2-x-2x=f（x），则f（x）是偶函数，排除C，f（3）=9-8-=0，排除A，f（5）=25-32-=-7-0，排除D，故选：B判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值的符号的一致性进行排除即可本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键7.【答案】D【解析】解：解：作出x，y满足约束条件，所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=-x+z，平移直线y=-x可知，当直线经过点A（2，6）时，直线的截距最小值，此时目标函数取最大值z=2+36=20，故选：D画出可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题8.【答案】C【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：所以几何体的体积为：=3故选：C画出三视图对应的几何体的直观图，利用三视图的数据求解即可本题考查三视图求解几何体的体积，考查计算能力9.【答案】B【解析】解：双曲线M与双曲线N：=1有共同的渐近线，可设M：=m（m0，m1），由抛物线y=-x2-4x的顶点为（-2，4），可得m=-=2，即有-=1故选：B由题意可设M：=m（m0，m1），求得抛物线的顶点，代入双曲线M方程，可得m，即可得到所求双曲线方程本题考查双曲线的方程，注意运用共渐近线方程的双曲线方程的设法，考查方程思想和运算能力，属于基础题10.【答案】B【解析】解：（sin+3cos）2=sin2+6sincos+9cos2=10（sin2+cos2），9sin2-6sincos+cos2=0，则（3tan-1）2=0，即则tan（+）=故选：B把已知等式两边平方，再由弦化切求出tan，然后利用两角和的正切公式求解即可本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切公式，是基础题11.【答案】A【解析】解：在空间直角坐标系O-xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），四面体OABC的外接球的表面积为6，OA，OB，OC两两垂直，=6，解得m2=2，=（2，0，-1），cos，=异面直线OD与AB所成角的余弦值为故选：A推导出OA，OB，OC两两垂直，=（2，0，-1），由此能求出异面直线OD与AB所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12.【答案】B【解析】解：f（x）=6（x-1）（x-2a），a0，当x2a或x1时，f（x）0，当2ax1时，f（x）0，故f（x）的极小值是f（1）=16a2+6a-1，x00，16a2+6a-10，又-a0故选：B求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极小值，得到关于a的不等式，解出即可本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题13.【答案】R【解析】解：函数f（x）=lg（x-1）的定义域为x|x1，所以函数f（x）=lg（x-1）的真数恒大于0，由对数函数的图象知，值域为R故答案为R由f（x）定义域知，真数大于0，借助对数的图象得值域为R本题考察了对数函数图象性质，属于简单题14.【答案】-4【解析】解：因为=，所以=2（），所以x=-2，y=2，所以x-y=-4，故答案为：-4由平面向量的基本定理得：=，即=2（），即x=-2，y=2，即x-y=-4，得解，本题考查了平面向量的基本定理，属简单题15.【答案】5【解析】解：（1-ax）（x-1）3=（1-ax）（x3-3x2+3x-