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1反证法逻辑原理即证“完备性前提下的原命题的逆否命题”作者:孙贤忠(湖南省长沙市第七中学 邮编:410003)【摘要】:阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类,探索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题:若 A 则 B 为真,这只是简洁的形式,因为若 A 则 B 为真,其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实,乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真,否则绝不可能推出结论 B 为真。【关键词】:反证法 证明 矛盾 逆否命题一 反证法出现反证法(Proofs by Contradiction,又称归谬法、背理法),是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说明假设不成立,原命题得证。反证法常称作 Reductio ad absurdum,是拉丁语中的“转化为不可能” ,源自希腊语中的“ ”,阿基米德经常使用它。 二 反证法所依据的逻辑思维规律反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律 ”。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说 “A 或者非 A”,这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律” ,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律” ,结论与“否定的结论” 这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。反证法是“间接证明法”一类,是从反方向证明的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard) 对反证法的实质作过概括:“ 若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反证法就是从反论题入手,把命题结论的否定当作条件,使之得到与条件相矛盾,肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时,一定要用到“反设”,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法 ”。2反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需要运用反证法,此即所谓正难则反。三 反证法所依据的逻辑基础牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一 ”。一般来讲,反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂, 而逆否命题则比较浅显的题目,问题可能解决得十分干脆。反证法的证题可以简要的概括为“否定得出矛盾 否定” 。即从否定结论开始,得出矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定” 。应用反证法的是:欲证“若 P 则 Q”为真命题,从相反结论出发,得出矛盾,从而原命题为真命题。反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假 ”的结论,为什么?这个结论可以用穷举法证明:某命题:若 A 则 B,则此命题有 4 种情况:1.当 A 为真,B 为真,则 AB 为真,BA 为真;2.当 A 为真,B 为假,则 AB 为假,BA 为假;3.当 A 为假,B 为真,则 AB 为真,BA 为真;4.当 A 为假,B 为假,则 AB 为真,BA 为真;一个命题与其逆否命题同真假与若 A 则 B 先等价的是它的逆否命题若B 则A假设B, 推出 A, 就说明逆否命题是真的 ,那么原命题也是真的.但实际推证的过程中,推出A 是相当困难的, 所以就转化为了推出与A 相同效果的内容即可,这个相同效果就是与 A(已知条件) 矛盾,或是与已知定义,定理, 大家都知道的事实等矛盾.这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题:若 A则 B 为真,这只是简洁的形式,因为若 A 则 B 为真,其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实,乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真,否则绝不可能推出结论 B 为真。这样就有命题:若 A 则 B 为真,应该完备成命题:若 A 且 C(定义)且 D(定理)且 E(正确的逻辑推理)且 F(客观事实)以及且则 B。于是逆否命题就是:若B,则 A 或 C (定义)或D (定理)或E(正确的逻辑推理)或F(客观事实)以及或,逆否命题至少有一个,证出一个就可以了。在数学的证明中,经常运用反证法。在命题逻辑推理中,反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。设 A1,A2 ,Am 是命题公式,如果 A1 A2Am 是可满足的,3称 A1,A2 ,Am 是相容的。如果 A1A2Am 是矛盾式,称 A1,A2 ,Am 是不相容的。如果要证 A1 A2Am C只需证明 A1 A2Am C 是重言式。而 A1A2Am C (A1A2Am)C (A1A2Am C)由此可知 A1A2Am C 为重言式,当且仅当 A1A2Am C 是矛盾式。从而得到如 A1,A2,Am,C 不相容(即 C(A1A2Am)这就是A1 A2Am C 的逆否命题得证 ),则 C 是 A1,A2,Am 的有效结论。因此我们可以把 C 作为附加前提推出矛盾来,从而可以得到 C 是A1,A2,Am 的有效结论。这种方法称为反证法,也是反证法的逻辑基础。例如:BA 为真,就是B 且 A 且 C(定义)且 D(定理)且 E(正确的逻辑推理)且 F(客观事实 )以及A 且 C(定义)且 D(定理)且 E(正确的逻辑推理)且 F(客观事实 )以及这就是推出与已知条件矛盾的情形,所以若 A则 B 为真(即原命题为真),当然也可以是另外的情形,如:B 且 A 且 C(定义)且 D(定理)且 E(正确的逻辑推理)且 F(客观事实 )以及则 A 且 C(定义)且D(定理)且 E(正确的逻辑推理)且 F(客观事实 )以及,这就是推出与定理矛盾的情形,所以若 A则 B 为真(即原命题为真)等等。四 反证法步骤:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立。(若B 为真)(2)从这个命题出发,经过推理证明得出矛盾。(即推出A 或C(定义)D(定理)或E(正确的逻辑推理)或 F(客观事实)以及或为真)(3)由矛盾判断假设不成立,从而肯定命题的结论正确。(即 AB 为真)五 反证法在简易逻辑中适用题型:(1)唯一性命题(2)否定性题(3)“ 至多”,“至少”型命题4基本命题,即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少,或由题设条件所能推得的结论很少,因而直接证明入手较难,此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体几何等,在按照公理化方法来建立起它的科学体系时,最初只是提出少量的定义、公理。因此,起始阶段的一些性质和定理很难直接推证,它们多数宜于用反证法来证明。例 1 求证 两条直线如果有公共点,最多只有一个。证明:假设它们有两个公共点 A,B,这两点直分别是 a,b 那么 A,B 都属于 a,A ,B 也都属于 b, 因为两点决定一条直线, 所以 a,b 重合(这否定了两条直线这个条件)所以命题不成立, 原命题正确,公共点最多只有一个。否定式命题,即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体,适于应用反证法。例 2 为圆两条相交弦,且不全为直径,CDAB、求证: 不能互相平分。、证明:假设弦 被 点平分,、 P由于 点一定不是圆心,连接 ,O则有 ,CDABO,即过一点 有两条直线与 垂直,这与垂线性质矛盾(这否定了垂线性质定理),所以弦 不CDAB、能被 平分。P例 3 证明函数 y = cos 不是周期函数。x证明:假设函数 y=cos 是周期函数,即存在 T 0,使 cos = Txcos x令 x=0,得 T=4k (k 0, k Z, 不妨设 k0)。2令 x=4 ,得 = 2m (m N)224k5=m N21k但是当 k0 时, k k+1,因而 不是整数(这21k21k否定了相邻两个整数之间没整数的事实),矛盾故 函数 y = cos 不是周期函数。x例 4 求证:形如 4n+3 的整数不能化为两整数的平方和。证明:假设 p 是 4n+3 型的整数,且 p 能化成两个整数的平方和,即p=a2+b2,则由 p 是奇数得 a、b 必为一奇一偶。不妨设 a=2s+1,b=2t,其中 s、t 为整数,p=a2+b2=(2s+1)2+(2t)2=4(s2+s+t2)+1,这与 p 是 4n+3 型的整数矛盾(这否定了条件 p 是 4n+3 型的整数)。例 5 证明: ABC 内不存在这样的点 P,使得过 P 点的任意一条直线把ABC的面积分成相等的两部分。证明:假设在ABC 内存在一点 P,使得过P点的任一条直线把ABC 的面积分成 相等的两部分。连接 AP、 BP、 CP 并分 别延长交对边于 D、 E、 F。由假设,S ABD=S ADC,于是 D 为 BC的中点,同 理 E、 F 分别是 AC、 AB 的中点,从而 P 是 ABC 的重心。过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、AC 于 M、 N, 则 ,这与假设过 P 点的任一条直线把ABC 的面积分成相等的两部分矛盾。(这否定了题设过 P 点的任一条直线把ABC 的面积分成相等的两部分)限定式命题,即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。例 6 已知函数 f(x)是单调函数,则方程 f(x)=0 最多只有一个实数根。证:假设方程至少有两个根 x ,x 且 x x ,1212则有 f(x )=f(x2) (x x )16这与函数单调的定义显然矛盾(这否定了函数单调的定义),故命题成立。例 7 平面上有六个圆,每个圆圆心都在其余各圆外部,则平面上任一点不会同时在这六个圆上。证:题意即这六个圆没有共同的交点。如果这六个圆至少有一个共同的交点,则连接这交点与每个圆的圆心的线段中,总有两条线段所成的角不超过 60。这时,这两条线段所连接的圆如果半径相等,那么两圆圆心在对方圆内;否则,较小的圆圆心在较大的圆之内,这都与已知矛盾。(这否定了已知条件)例 8 若 p0,q0 ,p3q32 。试用反证法证明: pq 2。证明:此题直接由条件推证 pq 2 是较困难的,由此用反证法证之。假设 pq 2,p0,q 0,(p q )3p3 3p2q 3pq2q3 8又p3q32。代入上式得:3pq (pq )6。即 pq(pq)2 又由 p3q32 得(pq) (p2 pqq2)2 由得 pq( pq)(pq )(p2pqq2)p q 0。pqp2pqq2 p22pqq20 (pq )20 与(pq)20 相矛盾。(这否定了实数的平方非负的运算律)假设 pq 2 不成立。故 pq2 。唯一性命题,即结果指定唯一的命题。例 9 已知 证明 的方程 有且只有一个根。,0axba证明:由于 因此方程至少有一个根 ax如果方程不只一个根,不
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