4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点2k，的诱导公式思考1设为任意角，则2k，2k，的终边与的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2k与终边相同与关于原点对称与关于x轴对称2与关于x轴对称与关于y轴对称思考22k，2k，终边和单位圆的交点与的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角与的正弦函数、余弦函数的关系.答案它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2k与重合与关于原点对称与关于x轴对称2与关于x轴对称与关于y轴对称设角与角终边与单位圆的交点分别为P和P，因为P和P关于x轴对称，所以点P和P的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin()sin ，cos()cos .梳理对任意角，有下列关系式成立：sin(2k)sin ，cos(2k)cos (1.8)sin()sin ，cos()cos (1.9)sin(2)sin ， cos(2)cos (1.10)sin()sin ，cos()cos (1.11)sin()sin ，cos()cos (1.12)公式1.81.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.1.sin()sin .()提示sin()sin()sin()sin .2.cos .()提示cos coscos .3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.()提示在角度制和弧度制下，公式都成立.类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值.(1)cos 210；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(1 920).考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解(1)cos 210cos(18030)cos 30.(2)sin sinsin sinsin .(3)sinsinsin sinsin .(4)cos(1 920)cos 1 920cos(5360120)cos 120cos(18060)cos 60.反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式1.9来转化.(2)“大化小”：用公式1.8角化为0到360间的角.(3)“角化锐”：用公式1.10或1.11将大于90的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320；(2)cos.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解(1)方法一sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 60.方法二sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 60.(2)方法一coscos coscoscos .方法二coscoscoscos .类型二给值(式)求值问题例2(1)已知sin()0.3，则sin(2) .(2)已知cos，则cos .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案(1)0.3(2)解析(1)sin()sin 0.3，sin 0.3，sin(2)sin 0.3.(2)coscoscos.反思与感悟解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用.跟踪训练2(2017大同检测)已知sin ，cos()1，则sin(2)的值为()A.1 B.1 C. D.考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案D解析由cos()1，得2k(kZ)，则2()2k(kZ)，sin(2)sin(2k)sin()sin .类型三利用诱导公式化简例3化简：.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式1.引申探究若本例改为：(nZ)，请化简.解当n2k时，原式1；当n2k1时，原式1.综上，原式1.反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.跟踪训练3化简：.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式1.1.sin 585的值为()A. B.C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案A解析sin 585sin(360225)sin(18045)sin 45.2.cossin的值为()A. B.C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案C解析原式cos sin cos sin cos sin .3.如果180，那么下列等式中成立的是()A.cos cos B.cos cos C.sin sin D.sin cos 考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案B4.sin 750 .考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案解析sin sin(k360)，kZ，sin 750sin(236030)sin 30.5.化简：.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式1.1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式1.8将角转化为02之间的角求值公式1.12将02内的角转化为0之间的角求值公式1.9将负角转化为正角求值公式1.11将角转化为0之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角.一、选择题1.cos 600的值为()A. B. C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案D解析cos 600cos(360240)cos 240cos(18060)cos 60.2.sin(390)的值为()A. B. C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案D解析sin(390)sin(36030)sin(30)sin 30.3.下列三角函数中，与sin 数值相同的是()sin；cos；sin；cos；sin(nZ).A. B.C. D.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案C4.sin(2)cos(42)化简的结果为()A.sin 2cos 2B.1C.2sin 2D.2sin 2考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案A解析原式sin 2cos 2，所以选A.5.设f(x)asin(x)bcos(x)4，其中a，b，R，且ab0，k(kZ).若f(2 009)5，则f(2 015)等于()A.4 B.3 C.5 D.5考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案D解析f(2 009)(asin bcos )45，f(2 015)(asin bcos )45.6.已知sin，则sin的值为()A. B. C. D.考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案C解析sinsinsin.二、填空题7. .考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案 2解析原式2.8.已知f(x)则ff .考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案2解析fsinsin ，ff1f2sin2，ff2.9.已知cos()，2，则sin(3)cos() .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案解析cos()cos ，cos .又2，2，sin .sin(3)cos()sin(3)cos()sin()(cos )sin cos (sin cos ).10.已知sin()，则cos(2)的值是 .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案解析由sin()，得sin ，所以cos ，所以cos(2)cos .11.sincos ；sin(960)cos 1 470cos(240)sin(210) .考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案1解析(1)sincos sincossin cos .(2)sin(960)cos 1 470cos 240sin(210)sin(180602360)cos(304360)cos(18060)sin(18030)sin 60cos 30cos 60sin 301.三、解答题12.已知cosm(|m|1)，求cos的值.考点利用诱导公式求值题点