1 级数 函数项级数的微积分性质 2 函数项级数的微积分性质 函数项级数的连续性函数项级数积分换序 逐项积分 函数项级数的可微性 逐项求导 若必要 为了记号上的简单 仍以 为区间的情形来叙述相关的结果 3 函数项级数的连续性 设un C 如果 un在 上一致收敛 则函数在 上连续 证明这是极限定理的直接推论 4 函数项级数逐项积分 I 设un L 0 使得当n N时 5 逐项积分 I 证明 续 因此由 可知 un L 所以 6 时的反例 0 n在 上一致收敛到零函数而相应的积分列 7 函数项级数逐项积分 II 设un在 上非负可测 则设un在 上可测 且 un L 则 un L 且 8 函数项级数逐项求导 I 设 开 un un xk C un在 上处处收敛 un xk在 上一致收敛 则因此 9 逐项求导 I 的证明 取定x 由 开 存在h 0 连接x hek和x hek的线段L含在 内 则对于y L 由微积分基本定理 10 逐项求导 I 的证明 续1 注意 un xk在L上一致收敛 因此 11 逐项求导 I 的证明 续2 即注意 un xk在L上是yk的连续函数 由微积分基本定理就得到结果 12 函数项级数逐项求导 II 设 开 un在 上有偏导数 un xk un在 上处处收敛 un xk在 上一致收敛 则 13 逐项求导 II 的证明 为记号简单考虑一维情况 取定x 由 开 存在 0 L x x 设 h 记 un考虑差商下面只要证明右边的级数关于h在 0 上一致收敛就够了 14 逐项求导 II 的证明 续1 任取 0 由 dun dx在L上一致收敛 N n N m 0 因此当n N m 0时 15 逐项求导 I 的证明 续2 由极限定理 16 导函数列或级数不一致收敛的反例 考虑函数列 其极限函数 导数函数列 其极限函数 导函数列在 0 上不一致收敛 17 级数定义的函数例1 Riemann的 Zeta 函数 在 0 上有任意阶导数 解 只要证明 0 在 1 上都一致收敛就够了 习题 18 级数定义的函数例2 Riemann的 函数的积分形式 解 只要利用几何级数和Levi定理就够了 知识回顾KnowledgeReview