第 1 页 共 16 页 高考数学一模试卷 文科 高考数学一模试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知集合 A 0 1 2 B y y x3 x A 则 A B A 0 B 1 C 0 1 D 0 1 2 8 2 已知复数 z 其中 i 为虚数单位 则 z 的值为 A B C D 3 2019 年 1 月 1 日 济南轨道交通 1 号线试运行 济南轨道交通集团面向广大市民 开展 参观体验 征求意见 活动 市民可以通过济南地铁 APP 抢票 小陈抢到 了三张体验票 准备从四位朋友小王 小张 小刘 小李中随机选择两位与自己一 起去参加体验活动 则小王被选中的概率为 A B C D 4 已知双曲线 1 的一个焦点 F 的坐标为 5 0 则该双曲线的渐近线方程为 A y xB y xC y xD y x 5 随着我国经济实力的不断提升 居民收入也在不断增加 某家庭 2018 年全年的收 入与 2014 年全年的收入相比增加了一倍 实现翻番 同时该家庭的消费结构随之 也发生了变化 现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例 得 到了如图折线图 则下列结论中正确的是 A 该家庭 2018 年食品的消费额是 2014 年食品的消费额的一半 B 该家庭 2018 年教育医疗的消费额与 2014 年教育医疗的消费额相当 C 该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 2014 年休闲旅游的消费额的五倍 D 该家庭 2018 年生活用品的消费额是 2014 年生活用品的消费额的两倍 6 在 ABC 中 AC BC cosA 则 ABC 的面积为 第 2 页 共 16 页 A B 5C 10D 7 执行如图所示的程序框图 若输入的 x 值为 2019 则输出的 y 值为 A B C D 1 8 某几何体的三视图如图所示 则该几何体外接球的表面积是 A B 27 C 9 D 108 9 已知函数 f x cos 2x 1 则 f x 的最大值与最小值的和为 A 0B 1C 2D 4 10 已知 若 sin2 则 cos A B C D 11 已知函数 f x 则 f 3 x2 f 2x 的解集为 A 3 1 B 3 1 C 1 3 D 1 3 第 3 页 共 16 页 12 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理 幂势既同 则积不容 异 意思是 两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等 则这两 个几何体的体积相等 已知曲线 C y x2 直线 l 为曲线 C 在点 1 1 处的切线 如图所示 阴影部分为曲线 C 直线 l 以及 x 轴所围成的平面图形 记该平面图形 绕 y 轴旋转一周所得到的几何体为 给出以下四个几何体 图 是底面直径和高均为 1 的圆锥 图 是将底面直径和高均为 1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的 几何体 图 是底面边长和高均为 1 的正四棱锥 图 是将上底面直径为 2 下底面直径为 1 高为 1 的圆台挖掉一个底面直径为 2 高为 1 的倒置圆锥得到的几何体 根据祖暅原理 以上四个几何体中与 的体积相等的是 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知平面向量 满足 1 的值为 14 已知实数 x y 满足约束条件 则 z 2x y 的最小值是 15 已知函数 f x 2sin x 0 的部分图 象如图所示 则 f 的值为 16 设 F1 F2分别是椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点 B 为椭圆的下顶点 P 为过点 F1 F2 B 的圆与椭圆 C 的一 个交点 且 PF1 F1F2 则的值为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 已知数列 的前 n 项和为 且 求数列的通项公式 设 数列的前 n 项和为 求的最小值及取得最小值时 n 的值 第 4 页 共 16 页 18 如图 1 所示 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD BAD 45 AB 2CD 4 点 E 为 AB 的中点 将 ADE 沿 DE 折起 使点 A 到达 P 的位置 得到如图 2 所示的四棱锥 P EBCD 点 M 为棱 PB 的中点 1 求证 PD 平面 MCE 2 若平面 PDE 平面 EBCD 求三棱锥 M BCE 的体积 19 已知抛物线 C1 y2 2px p 0 与椭圆 C2 1 有一个相同的焦点 过点 A 2 0 且与 x 轴不垂直的直线 l 与抛物线 C1交于 P Q 两点 P 关于 x 轴的对称点 为 M 1 求抛物线 C1的方程 2 试问直线 MQ 是否过定点 若是 求出该定点的坐标 若不是 请说明理由 20 某客户考察了一款热销的净水器 使用寿命为十年 该款净水器为三级过滤 每一 级过滤都由核心部件滤芯来实现 在使用过程中 一级滤芯需要不定期更换 其中 每更换 3 个一级滤芯就需要更换 1 个二级滤芯 三级滤芯无需更换 其中一级滤芯 每个 200 元 二级滤芯每个 400 元 记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯 的个数构成的集合为 M 如图是根据 100 台该款净水器在十年使用期内更换的一级 第 5 页 共 16 页 滤芯的个数制成的柱状图 1 结合如图 写出集合 M 2 根据以上信息 求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于 1200 元 的概率 以 100 台净水器更换二级滤芯的频率代替 1 台净水器更换二级滤芯发生的 概率 3 若在购买净水器的同时购买滤芯 则滤芯可享受 5 折优惠 使用过程中如需 再购买无优惠 假设上述 100 台净水器在购机的同时 每台均购买 a 个一级滤芯 b 个二级滤芯作为备用滤芯 其中 b M a b 14 计算这 100 台净水器在使用 期内购买滤芯所需总费用的平均数 并以此作为决策依据 如果客户购买净水器的 同时购买备用滤芯的总数也为 14 个 则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是 多少 21 设函数 1 讨论的单调性 2 若 试判断的零点个数 22 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 为参数 以坐标 原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为 sin 2 1 求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程 第 6 页 共 16 页 2 射线 OP 的极坐标方程为 若射线 OP 与曲线 C 的交点为 A 与直线 l 的 交点为 B 求线段 AB 的长 23 已知函数 f x x 2 2x 1 1 求不等式 f x 3 的解集 2 若不等式 f x ax 的解集为空集 求实数 a 的取值范围 第 7 页 共 16 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 解 集合 A 0 1 2 B y y x3 x A 0 1 8 A B 0 1 故选 C 先分别求出集合 A B 由此能求出 A B 本题考查交集的求法 考查交集定义 不等式性质等基础知识 考查运算求解能力 是 基础题 2 答案 D 解析 解 z z 故选 D 直接利用商的模等于模的商求解 本题考查复数模的求法 是基础题 3 答案 B 解析 解 小陈抢到了三张体验票 准备从四位朋友小王 小张 小刘 小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动 基本事件总数 n 小王被选中包含的基本事件个数 m 3 则小王被选中的概率为 p 故选 B 基本事件总数 n 小王被选中包含的基本事件个数 m 3 由此能求出小王 被选中的概率 本题考查概率的求法 考查古典概型 排列组合等基础知识 考查运算求解能力 是基 础题 4 答案 A 解析 解 双曲线 1 的一个焦点 F 的坐标为 5 0 可得 5 解得 m 16 双曲线 1 的渐近线方程为 y x 故选 A 第 8 页 共 16 页 利用已知条件求出 m 然后求解双曲线的渐近线方程即可 本题考查双曲线的简单性质的应用 是基本知识的考查 5 答案 C 解析 分析 本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理 属中档题 先对折线图信息理解及处理 再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解 解答 解 由折线图可知 不妨设 2014 年全年的收入为 t 则 2018 年全年的收入为 2t 对于选项 A 该家庭 2018 年食品的消费额为 0 2 2t 0 4t 2014 年食品的消费额为 0 4 t 0 4t 故 A 错误 对于选项 B 该家庭 2018 年教育医疗的消费额为 0 2 2t 0 4t 2014 年教育医疗的消费 额为 0 2 t 0 2t 故 B 错误 对于选项 C 该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 0 25 2t 0 5t 2014 年休闲旅游的消费 额是 0 1 t 0 1t 故 C 正确 对于选项 D 该家庭 2018 年生活用品的消费额是 0 3 2t 0 6t 该家庭 2014 年生活用品 的消费额是 0 15 t 0 15t 故 D 错误 故选 C 6 答案 A 解析 解 AC BC cosA sinA 由余弦定理 BC2 AC2 AB2 2AB AC cosA 可得 10 5 AB2 2 AB 整理可得 AB2 4AB 5 0 解得 AB 5 或 1 舍去 S ABC AB AC sinA 故选 A 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值 根据余弦定理可求 AB 的值 进而 利用三角形的面积公式即可计算得解 本题主要考查了同角三角函数基本关系式 余弦定理 三角形的面积公式在解三角形中 的应用 考查了计算能力和转化思想 属于基础题 7 答案 C 解析 解 2019 4 504 3 即当 x 3 时 满足条件 x 0 则 x 3 4 1 此时不满足条件 x 0 输出 S 故选 C 根据查询框图 得到当 x 1 时查询终止 进行计算即可 本题主要考查程序框图的识别和应用 结合程序 得到终止条件是解决本题的关键 8 答案 B 第 9 页 共 16 页 解析 解 由题意可知几何体是正方体的一部分 四棱 锥 P ABCD 四棱锥的外接球就是正方体的外接球 外接球 的半径为 该几何体外接球的表面积是 4 2 27 故选 B 画出几何体的直观图 利用三视图是数据转化求解外接球的 半径 推出外接球的表面积即可 本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积 考查转化思想以及计算能力 9 答案 C 解析 解 函数 f x cos 2x 1 cos 2x 1 sin2x 1 设函数 g x sinx x R 则 g x sin x sinx g x g x 是 R 上的奇函数 设 g x 的最大值为 M 则 g x 的最小值为 M f x 的最大值为 M 1 最小值为 M 1 M 1 M 1 2 即 f x 的最大值与最小值的和为 2 故选 C 化简函数 f x 知 f x g x 1 其中 g x 是 R 上的奇函数 且 g x 的最大值与最小值的和为 0 由此求出 f x 的最大值与最小值的和 本题考查了函数的奇偶性与最值应用问题 是基础题 10 答案 D 解析 解 若 sin2 tan 2 或 tan 不合题意 舍去 故 则 cos 故选 D 由题意利用同角三角函数的基本关系 二倍角公式求得 tan 的值 可得 cos 的值 本题主要考查同角三角函数的基本关系 二倍角公式的应用 属于基础题 11 答案 B 解析 解 当 x 0 时 f x x3 x2的导数为 f x x2 x 0 即 f x 在 x 0 递增 当 x 0 时 f x ex递增 且 0 e0 第 10 页 共 16 页 可得 f x 在 R 上递增 由 f 3 x2 f 2x 可得 3 x2 2x 解得 3 x 1 则原不等式的解集为 3 1 故选 B 讨论 x 0 x 0 函数 f x 的单调性 可得 f x 在 R 上递增 由单调性的定义 解二 次不等式可得所求解集 本题考查分段函数的单调性的判断和运用 考查不等式的解法 以及运算能力 属于基 础题 12 答案 A 解析 解 设直线 y t 与 y