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. . . . .www.ks5u.com12 复合函数零点问题一、典型例题例1:设定义域为的函数 ,若关于的方程由3个不同的解,则_例2:关于的方程的不相同实根的个数是( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 8思路:可将视为一个整体,即,则方程变为可解得:或,则只需作出的图像,然后统计与与的交点总数即可,共有5个答案:C例3:已知函数,关于的方程()恰有6个不同实数解,则的取值范围是 思路:所解方程可视为,故考虑作出的图像:, 则的图像如图,由图像可知,若有6个不同实数解,则必有,所以,解得 答案:例4:已知定义在上的奇函数,当时,则关于的方程的实数根个数为( )A. B. C. D. 思路:已知方程可解,得,只需统计与的交点个数即可。由奇函数可先做出的图像,时,则的图像只需将的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点答案:B小炼有话说:在作图的过程中,注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5:若函数有极值点,且,则关于的方程的不同实根的个数是( )A3 B4 C5 D6思路:由极值点可得:为 的两根,观察到方程与结构完全相同,所以可得的两根为,其中,若,可判断出是极大值点,是极小值点。且,所以与有两个交点,而与有一个交点,共计3个;若,可判断出是极小值点,是极大值点。且,所以与有两个交点,而与有一个交点,共计3个。综上所述,共有3个交点答案:A例6:已知函数,若方程恰有七个不相同的实根,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 思路:考虑通过图像变换作出的图像(如图),因为最多只能解出2个,若要出七个根,则,所以,解得:答案:B例7:已知函数,若关于的方程恰有4个不相等的实数根,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 思路:,分析的图像以便于作图,时,从而在单调递增,在单调递减,且当,所以正半轴为水平渐近线;当时,所以在单调递减。由此作图,从图像可得,若恰有4个不等实根,则关于的方程中,从而将问题转化为根分布问题,设,则的两根,设,则有,解得答案:C小炼有话说:本题是作图与根分布综合的题目,其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图,在作图的过程中还要注意渐近线的细节,从而保证图像的准确。例8:已知函数,则下列关于函数的零点个数判断正确的是( )A. 当时,有4个零点;当时,有1个零点B. 当时,有3个零点;当时,有2个零点C. 无论为何值,均有2个零点D. 无论为何值,均有4个零点思路:所求函数的零点,即方程的解的个数,先作出的图像,直线为过定点的一条直线,但需要对的符号进行分类讨论。当时,图像如图所示,先拆外层可得,而有两个对应的,也有两个对应的,共计4个;当时,的图像如图所示,先拆外层可得,且只有一个满足的,所以共一个零点。结合选项,可判断出A正确答案:A例9:已知函数,则方程(为正实数)的实数根最多有_个思路:先通过分析的性质以便于作图,从而在单增,在单减,且,为分段函数,作出每段图像即可,如图所示,若要实数根最多,则要优先选取能对应较多的情况,由图像可得,当时,每个可对应3个。只需判断中,能在取得的值的个数即可,观察图像可得,当时,可以有2个,从而能够找到6个根,即最多的根的个数答案:6个例10:已知函数和在的图像如下,给出下列四个命题:(1)方程有且只有6个根(2)方程有且只有3个根(3)方程有且只有5个根(4)方程有且只有4个根则正确命题的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4思路:每个方程都可通过图像先拆掉第一层,找到内层函数能取得的值,从而统计出的总数。(1)中可得,进而有2个对应的 ,有3个,有2个,总计7个,(1)错误;(2)中可得,进而有1个对应的,有3个,总计4个,(2)错误;(3)中可得,进而有1个对应的 ,有3个,有1个,总计5个,(3)正确;(4)中可得:,进而有2个对应的 ,有2个,共计4个,(4)正确则综上所述,正确的命题共有2个答案:B. 专业word可编辑 .
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