创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 考试要求 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数的图象理解 和研究函数的奇偶性 3 了解函数的周期性 最小正周期的含义 会判断 应用 简单函数的周期性 第4节节 函数的奇偶性与周期性 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 知 识 梳 理 1 函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都 有 那么函数f x 是偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都 有 那么函数f x 是奇函数 关于 对称 f x f x y轴 f x f x 原点 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 2 函数的周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的 任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个 函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 的正数 那么 这个最小正数就叫做f x 的 正周期 f x T f x 存在一个最小 最小 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 常用结论与易错提醒 1 函数奇偶性的三个重要结论 1 如果一个奇函数f x 在原点处有定义 即f 0 有意义 那么一定有f 0 0 2 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 3 奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个关于原 点对称的区间上具有相反的单调性 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 基 础 自 测 1 思考辨析 在括号内打 或 1 函数y x2在x 0 时是偶函数 2 若函数f x 为奇函数 则一定有f 0 0 3 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 的图象关于直线x a对称 4 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 的图象关于点 b 0 中心对称 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 解析 1 由于偶函数的定义域关于原点对称 故y x2在 0 上不是偶函数 1 错 2 由奇函数定义可知 若f x 为奇函数 其在x 0处有意义时才满足f 0 0 2 错 答案 1 2 3 4 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 答案 B 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 3 2019 金华十校调研 下列函数中 是偶函数且在 0 上为增函数的是 A y cos x B y 1 x2 C y log2 x D y ex e x 解析 y cos x是偶函数 在 0 上不具有单调性 所以选项A错误 y 1 x2 是偶函数 在 0 上是减函数 所以选项B错误 y log2 x 是偶函数 在 0 上是增函数 所以选项C正确 令f x ex e x 则f x e x ex ex e x f x 所以y ex e x是奇函数 所以选项D错误 故选C 答案 C 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 4 若函数y f x 是定义在R上的周期为2的奇函数 则f 2 020 f 2 019 A 2 020 B 0C 1 D 2 020 解析 因为f x 是定义在R上的周期为2的奇函数 所以f 1 f 1 f 1 所以 f 1 0 且f 0 0 而f 2 020 f 2 1 010 0 f 0 0 f 2 019 f 2 1 009 1 f 1 0 故选B 答案 B 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 5 偶函数y f x 的图象关于直线x 2对称 f 3 3 则f 1 解析 f x 为偶函数 f 1 f 1 又f x 的图象关于直线x 2对称 f 1 f 3 f 1 3 答案 3 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 因此f x f x 且f x f x 函数f x 既是奇函数又是偶函数 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 函数f x 为奇函数 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 3 显然函数f x 的定义域为 0 0 关于原点对称 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x0且a 1 则函数f x 的奇偶性 A 与a无关 且与b无关 B 与a有关 且与b有关 C 与a有关 但与b无关 D 与a无关 但与b有关 2 设函数f x g x 的定义域都为R 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论 中正确的是 A f x g x 是偶函数 B f x g x 是奇函数 C f x g x 是奇函数 D f x g x 是奇函数 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 2 依题意得对任意x R 都有f x f x g x g x 因此 f x g x f x g x f x g x f x g x 是奇函数 A错 f x g x f x g x f x g x f x g x 是偶函数 B错 f x g x f x g x f x g x f x g x 是奇函数 C正确 f x g x f x g x f x g x f x g x 是偶函 数 D错 答案 1 D 2 C 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 解析 1 法一 令x 0 则 x 0 f x 2x3 x2 函数f x 是定义在R上的奇函数 f x f x f x 2x3 x2 x 0 f 2 2 23 22 12 法二 f 2 f 2 2 2 3 2 2 12 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 则ln a x2 x2 0 a 1 答案 1 12 2 1 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 规律方法 1 已知函数的奇偶性求参数 一般采用待定系数法求解 根据f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的值或方程 组 进而得出 参数的值 2 已知函数的奇偶性求函数值或解析式 首先抓住在已知区间上的解析式 将待求 区间上的自变量转化到已知区间上 再利用奇偶性求出 或充分利用奇偶性构造关 于f x 的方程 组 从而得到f x 的解析式或函数值 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 解析 1 因为f x 是偶函数 g x 是奇函数 所以f 1 g 1 f 1 g 1 1 3 1 2 1 1 答案 1 C 2 A 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 考点三 函数的周期性及其应用 例3 设定义在R上的函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x 2x x2 则f 0 f 1 f 2 f 2 019 解析 f x 2 f x 函数f x 的周期T 2 又当x 0 2 时 f x 2x x2 f 0 0 f 1 1 f 0 f 1 1 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 2 018 f 2 019 1 f 0 f 1 f 2 f 2 019 1 010 答案 1 010 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 规律方法 1 根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时 应根 据周期性或奇偶性 由待求区间转化到已知区间 2 若f x a f x a是常数 且a 0 则2a为函数f x 的一个周期 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 2 2 5 3 由题意 得f 2 5 2 5 f 105 5 2 5 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 解析 1 法一 f x 是定义域为 的奇函数 f x f x 且f 0 0 f 1 x f 1 x f x f 2 x f x f 2 x f 2 x f x f 4 x f 2 x f x f x 是周期函数 且一个周期为4 f 4 f 0 0 f 2 f 1 1 f 1 1 f 0 0 f 3 f 1 2 f 1 2 f 1 2 f 1 f 2 f 3 f 4 f 50 12 0 f 49 f 50 f 1 f 2 2 故选C 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 答案 1 C 2 C 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 规律方法 1 函数单调性与奇偶性的综合 注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇 偶函数图象的对称性 2 周期性与奇偶性的综合 此类问题 多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行 变换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 3 单调性 奇偶性与周期性的综合 解决此类问题 通常先利用周期性转化自变量所 在的区间 然后利用奇偶性和单调性求解 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 解析 1 由题意 g x 是定义在R上的奇函数 g x g x 由g x f x 1 得g x f x 1 f x 1 f x 1 由f x 是定义在R上的偶函数 则f x f x f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 即f x 1 f x 1 0 f 2 017 f 2 019 f 2 018 1 f 2 018 1 0 创创新设计设计 考点聚焦突破知识衍化体验 g x 为奇函数 由奇函数图象的对称性知g x max g x min 0 故M m 2 答案 1 C 2 2