12 3 角的平分线的性质 1 在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中 掌握 角平分线的作法和角平分线的性质 发展数学直觉 2 提高综合运用三角形全等的有关知识的解决能力 掌握简 单的角平分线在生产 生活中的应用 不利用工具 请你将一张用纸片做的角分成两个相 等的角 你有什么办法 A O B C 再打开纸片 看看折痕与这个角有 何关系 对折 如果前面活动中的纸片换成木板 钢板等没法折的 角 又该怎么办呢 观察下面简易的平分角的仪器 其中AB AD BC DC 将点A放在角的顶点 AB和AD沿着角的两边放下 沿AC画一条射线AE AE就是 DAB的平分线 你能说明 它的道理吗 证明 在 ACD和 ACB中 AD AB 已知 DC BC 已知 CA CA 公共边 ACD ACB SSS CAD CAB 全等三角形的对应角相等 AC平分 DAB 角平分线的定义 根据角平分仪的制作原理怎样作一 个角的平分线 不用角平分仪或量角 器 尺规作角的平分线 画法 1 以 为圆心 适当长为半径作弧 交 于 交 于 2 分别以 为圆心 大于 的长 为半径作弧 两弧在 AOB的内部交于 3 作射线OC 射线OC即为所求 O A B N M C 证明 连结MC NC由作法知 在 OMC和 ONC中 OM ON MC NC OC OC OMC ONC SSS AOC BOC 即OC 是 的角平分线 为什么OC是 的角平分线 O A B N M C 将 AOB对折 再折出一个直角三角形 使第一条折 痕为斜边 然后展开 观察两次折叠形成的三条折痕 你能得出什么结论 猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 已知 OC平分 AOB 点P在OC上 PD OA于D PE OB于E 求证 PD PE P A O B C E D 12 证明 C平分 P是OC上一点 已知 D P B P 角平分线定义 PD OA PE OB 已知 ODP OEP 90 垂直的定义 在 OPD和 OPE中 DOP BOP 已证 ODP OEP 已证 OP OP 已知 OPD OPE AAS PD PE 全等三角形对应边相等 定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为 1 2 PD OA PE OB PD PE P A O B C E D 12 角平分线的性质 如图 要在S区建一个贸易市场 使它到铁路和公路 距离相等 离公路与铁路交叉处500米 这个集贸市场 应建在何处 比例尺为1 20000 s D C s 解析 作夹角的角平分线OC 截取OD 2 5cm D即为所求 O 反过来 到一个角的两边的距离相等的点是 否一定在这个角的平分线上呢 已知 如图 QD OA QE OB 点D E为垂足 QD QE 求证 点Q在 AOB的平分线上 证明 QD OA QE OB QDO QEO 90 垂直的定义 在Rt QDO和Rt QEO中 QO QO 公共边 QD QE Rt QDO Rt QEO HL QOD QOE 点Q在 AOB的平分线上 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 QD OA QE OB QD QE 点Q在 AOB的平分线上 用数学语言表示为 1 1 2 DC AC DE AB 2 DC AC DE AB DC DE A C D E B 1 2 1 2 DC DE 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角平分线上 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 1 已知 如图 在 ABC中 AD是它的角平分线 且 BD CD DE AB DF AC 垂足分别是E F 求证 EB FC B A E D C F 解析 根据角平分线的性质得 到DE DF 再根据HL证 BED CFD 从而得到EB FC 2 直线表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转 站 要求它到三条公路的距离相等 则可供选择的地址有 A 一处 B 两处 C 三处 D 四处 解析 选D 由于没有限制在何处选址 故要求的 地址共有四处 在各自夹角的平分线上 即 A B C D各一处 A D C B 3 宁德 中考 如图 已知AD是 ABC的角平分线 在不 添加任何辅助线的前提下 要使 AED AFD 需添加一个 条件是 并给予证明 B D A E F c 解法一 添加条件 AE AF 在 AED与 AFD中 AE AF EAD FAD AD AD AED AFD SAS 解法二 添加条件 EDA FDA 在 AED与 AFD中 EAD FAD AD AD EDA FDA AED AFD ASA 1 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2 角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角平分线上 通过本课时的学习 需要我们掌握