第二章 推 理与证明 2 1 合情 推理与演 绎推理 2 1 1 合 情推理 1 理解合情推理的含义 能利用归纳推理和类比推理进行简单的 推理 2 体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用 123 1 推理的结构与合情推理 1 从结构上说 推理一般由两部分组成 一部分是已知的事实 或 假设 叫做前提 一部分是由已知推出的判断 叫做结论 2 前提为真时 结论 可能为真的推理 叫做合情推理 归纳总结 推理也可以看作是用联结词将前提和结论逻辑的联 结 常用的联结词有 因为 所以 根据 可知 如 果 那么 等 123 做一做1 下列说法正确的是 A 由合情推理得出的结论 一定是正确的 B 合情推理必须有前提有结论 C 合情推理不能猜想 D 合情推理得出的结论 无法判定正误 答案 B 123 2 归纳推理 1 根据一类事物的部分对象具有某种性质 推出这类 事物的所 有对象都具有这种性质的推理 叫做归纳 推理 简称归纳 2 归纳 推理的一般步骤 通过观 察个别情况发现 某些相同性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 123 名师点拨归纳推理的特点 1 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 2 归纳推理的前提是部分的 个别的事实 因此归纳推理的结论 超出了前提所界定的范围 其前提和结论之间的联系不是必然性的 而是或然性的 所以 前提真而结论假 的情况是有可能发生的 3 人们在进行归纳推理的时候 总是先搜集一定的事实材料 有 了个别性的 特殊性的事实作为前提 然后才能进行归纳推理 因 此归纳推理要在观察和实验的基础上进行 4 归纳推理能够发现新事实 获得新结论 是科学发现的重要手 段 123 做一做2 1 数列2 5 11 20 x 47 中的x等于 A 28 B 32 C 33D 27 解析 5 2 3 1 11 5 3 2 20 11 3 3 x 20 3 4 32 答案 B 123 123 3 类比推理 1 根据两类不同事物之间具有某些类似 或一致 性 推测其中 一类事物具有与另一类事物类似 或相同 的性质的推理 叫做类比 推理 简称类比 它属于合情推理 2 类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确 的命题 猜想 123 归纳总结 类比推理有以下几个特点 1 类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中 推测正在研究中 的事物的属性 它以旧有认识作基础 类比出新的结果 2 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性 3 类比的结果是猜测性的 不一定可靠 但它却具有发现的功能 123 做一做3 1 在平面内 两条相交直线将整个平面分成四部分 类似地 在空间 两个相交平面将整个空间分成 答案 四部分 123 做一做3 2 十进制中 2 004 4 100 0 101 0 102 2 103 那 么在五进制中 2004 5 折合成十进制为 A 29 B 254 C 602 D 2 004 解析 找到十进制与五进制的相似之处 十进制中由低到高的单 位依次为100 101 102 五进制中由低到高的单位依次为 50 51 52 那么在五进制中 2004 4 50 0 51 0 52 2 53 4 2 53 4 250 254 故五进制中的 2004 5 折合成十进制为254 选B 答案 B 归纳推理的一般步骤是什么 剖析 1 实验 观察 通过观察个别事物发现某些相同性质 2 概括 推广 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性 命题 并且在一般情况下 如果归纳的个别情况越多 越具有代表性 那么推广的一般性结论也就越可靠 3 猜测一般性结论 通过实例去分析 归纳问题的一般性结论 题型一题型二题型三 归纳推理 题型一题型二题型三 反思 归纳法是获得数学结论的一条重要途径 运用不完全归纳法 通过观察 实验 从特例中归纳出一般性结论 形成猜想 题型一题型二题型三 类比推理 例题2 如图 在长方形ABCD中 对角线AC与两邻边 所成的角 分别为 且cos2 cos2 1 则在立体几何中 给出类比猜想 分析 考虑到平面几何中为长方形 故可联想到立体几何中的长 方体 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 反思 1 类比推理应从具体问题出发 通过观 察 分析 联想进 行对比 归纳 提出猜想 2 可类比为长方体的体对角线与共顶点的三条棱所成的角的关 系 也可类比为长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角 的关系 3 类比的结论不是唯一的 也不一定正确 题型一题型二题型三 易错辨析 易错点 在进行类比推理时 由于类比的相似性少或被一些表面 现象迷惑导致类比结论错误 解决这类问题的关键是 先充分认识 两类事物的相同 或相似 之处 充分考虑其中的本质联系 再进行类 比 题型一题型二题型三 例题3 请用类比推理完成下表 题型一题型二题型三 12345 1已知a1 3 a2 6 且an 2 an 1 an 则a33等于 A 3B 3C 6D 6 解析 由题意可得 a1 3 a2 6 a3 3 a4 3 a5 6 a6 3 a7 3 a8 6 归 纳出每6项一个循环 则a33 a3 3 答案 A 12345 12345 3对于命题 正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值 推广 到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和 A 为定值 B 为变 数 C 有时为 定值 有时为变 数 D 与正四面体无关的常数 答案 A 12345 4如图 由火柴杆拼成的一列图形中 第n个图形由n个正方形组成 通过观 察可以发现 第4个图形中 火柴杆有 根 第n个图形 中 火柴杆有 根 答案 13 3n 1 12345 答案 1 1