2 3 1 平面向量基本定理 第二章 2 3 平面向量的基本定理及坐标表示 学习目标 1 理解平面向量基本定理的内容 了解向量的一组基底的含义 2 在平面内 当一组基底选定后 会用这组基底来表示其他向量 3 会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 平面向量基本定理 思考1 如果e1 e2是两个不共线的确定向量 那么与e1 e2在同一平面 内的任一向量a能否用e1 e2表示 依据是什么 答案 能 依据是数乘向量和平行四边形法则 思考2 如果e1 e2是共线向量 那么向量a能否用e1 e2表示 为什么 答案 不一定 当a与e1共线时可以表示 否则不能表示 梳理 1 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的 向量a 实数 1 2 使a 1e1 2e2 2 基底 的向量e1 e2叫做表示这一平面内 向量的一组 基底 不共线 任意有且只有一对 不共线所有 知识点二 两向量的夹角与垂直 思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至起点 它们存在夹角吗 若存在 向量的夹角与直线的夹角一样吗 答案 存在夹角 不一样 ABC为等边三角形 ABC 60 则 CBD 120 故向量a与b的夹角为120 非零向量 AOB 当 0 时 a与b 当 180 时 a与b 2 垂直 如果a与b的夹角是90 则称a与b垂直 记作a b 同向反向 思考辨析 判断正误 1 平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底 答案提示 提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底 2 零向量可以作为基向量 提示 由于0和任意向量共线 故不可作为基向量 3 平面向量基本定理中基底的选取是唯一的 提示 基底的选取不是唯一的 不共线的两个向量都可作为基底 题型探究 类型一 对基底概念的理解 答案解析 例1 2017 衡水高一检测 设e1 e2是平面内所有向量的一组基底 则 下列四组向量中 不能作为基底的是 A e1 e2和e1 e2 B 3e1 4e2和6e1 8e2 C e1 2e2和2e1 e2 D e1和e1 e2 解析 选项B中 6e1 8e2 2 3e1 4e2 6e1 8e2与3e1 4e2共线 不能作为基底 选项A C D中两向量均不共线 可以作为基底 故 选B 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底 主要看两向量是否非零 且不共线 此外 一个平面的基底一旦确定 那么平面上任意一个向量 都可以由这个基底唯一线性表示出来 跟踪训练1 若e1 e2是平面内的一组基底 则下列四组向量能作为平 面向量的基底的是 A e1 e2 e2 e1B 2e1 e2 e1 e2 C 2e2 3e1 6e1 4e2D e1 e2 e1 3e2 解析 解析 选项A中 两个向量为相反向量 即e1 e2 e2 e1 则e1 e2 e2 e1为共线向量 选项B中 2e1 e2 也为共线向量 选项C中 6e1 4e2 2 2e2 3e1 为共线向量 根据不共线的向量可 以作为基底 只有选项D符合 答案 类型二 用基底表示向量 解答 解 四边形ABCD是平行四边形 E F分别是BC DC边上的中点 解答 解 取CF的中点G 连接EG E G分别为BC CF的中点 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种 一 种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化 直至能用基底表 示为止 另一种是列向量方程组 利用基底表示向量的唯一性求解 答案解析 类型三 向量的夹角 解答 例3 已知 a b 2 且a与b的夹角为60 设a b与a的夹角为 a b 与a的夹角是 求 因为 a b 2 所以 OAB为正三角形 所以 OAB 60 ABC 即a b与a的夹角 60 因为 a b 所以平行四边形OACB为菱形 所以OC AB 所以 COA 90 60 30 即a b与a的夹角 30 所以 90 反思与感悟 1 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起 点重合 作两个向量的夹角 按照 一作二证三算 的步骤求出 2 特别地 a与b的夹角为 1a与 2b 1 2是非零常数 的夹角为 0 当 1 20时 0 答案解析 达标检测 1 给出下列三种说法 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 底 一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的 基底 零向量不可作为基底中的向量 其中 说法正确的为 A B C D 答案 1234 5 2 如图所示 设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点 给出下列向 量组 其中可作为该平面内所有向量的基底的是 A B C D 12345 答案解析 3 已知向量e1 e2不共线 实数x y满足 2x 3y e1 3x 4y e2 6e1 3e2 则x y 答案 1234 解析 5 解析 向量e1 e2不共线 12 15 答案解析 12345 12345 解答 12345 12345 因为D E F依次是边AB的四等分点 规律与方法 1 对基底的理解 1 基底的特征 基底具备两个主要特征 基底是两个不共线向量 基底的选择是不 唯一的 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量 的一组基底的条件 2 零向量与任意向量共线 故不能作为基底 2 准确理解平面向量基本定理 1 平面向量基本定理的实质是向量的分解 即平面内任一向量都可以沿 两个不共线的方向分解成两个向量和的形式 且分解是唯一的 2 平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想 用向量解决几何问 题时 我们可以选择适当的基底 将问题中涉及的向量向基底化归 使 问题得以解决