1 3 2空间几何体的体积 第1章1 3空间几何体的表面积和体积 学习目标1 掌握柱体 锥体 台体的体积公式 会利用它们求有关几何体的体积 2 了解球的表面积与体积公式 并能应用它们求球的表面积及体积 3 会求简单组合体的体积及表面积 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一柱体 锥体 台体的体积公式 1 柱体的体积公式 S为底面面积 h为高 2 锥体的体积公式 S为底面面积 h为高 3 台体的体积公式 S S为上 下底面面积 h为高 4 柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系 V Sh 知识点二球的表面积和体积公式 1 球的表面积公式S R为球的半径 2 球的体积公式V 4 R2 知识点三球体的截面的特点 1 球既是中心对称的几何体 又是轴对称的几何体 它的任何截面均为圆 2 利用球半径 截面圆半径 球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径 思考辨析判断正误 1 锥体的体积等于底面面积与高之积 2 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 题型探究 例1 1 如图所示 已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1 且AA1 底面ABC 则三棱锥B1 ABC1的体积为 类型一柱体 锥体 台体的体积 解析三棱锥B1 ABC1的体积等于三棱锥A B1BC1的体积 答案 解析 2 现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯 水中放着一个底面直径为6cm 高为20cm的圆锥形铅锤 铅锤完全浸没在水中 当铅锤从水中取出后 杯里的水将下降 cm 答案 解析 0 6 解析设杯里的水下降hcm 反思与感悟 1 常见的求几何体体积的方法 公式法 直接代入公式求解 等积法 如四面体的任何一个面都可以作为底面 只需选用底面积和高都易求的形式即可 分割法 将几何体分割成易求解的几部分 分别求体积 2 求几何体体积时需注意的问题柱 锥 台体的体积的计算 一般要找出相应的底面和高 要充分利用截面 轴截面 求出所需要的量 最后代入公式计算 跟踪训练1 1 如图所示 在长方体ABCD A B C D 中 用截面截下一个棱锥C A DD 求棱锥C A DD 的体积与剩余部分的体积之比 解答 解设AB a AD b AA c 棱锥C A DD 的体积与剩余部分的体积之比为1 5 2 已知一个三棱台上 下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形 侧面是全等的等腰梯形 且侧面面积等于上 下底面面积之和 求棱台的高和体积 解答 解如图 在三棱台ABC A B C 中 取上 下底面的中心分别为O O BC B C 的中点分别为D D 则DD 是梯形BCC B 的高 又因为A B 20cm AB 30cm 类型二球的表面积与体积 命题角度1与球有关的切 接问题例2 1 求球与它的外切等边圆锥 轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥 的体积之比 解答 解如图 等边 ABC为圆锥的轴截面 截球面得圆O 设球的半径OE R AD OA OD 2R R 3R V球 V圆锥 4 9 2 设长方体的长 宽 高分别为2a a a 其顶点都在一个球面上 则该球的表面积为 解析长方体的体对角线是其外接球的直径 6 a2 答案 解析 反思与感悟 1 正方体的内切球球与正方体的六个面都相切 称球为正方体的内切球 此时球的半径为r1 过在一个平面上的四个切点作截面如图 2 球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点 过球心作正方体的对角面有r2 a 如图 3 长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上 称球为长方体的外接球 根据球的定义可知 长方体的体对角线是球的直径 若长方体过同一顶点的三条棱长为a b c 则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3 如图 跟踪训练2 1 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球 则该球的体积为 解析由题意知 此球是正方体的内切球 根据其几何特征知 此球的直径与正方体的棱长是相等的 故可得球的直径为2 故半径为1 答案 解析 2 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱的长都为a 顶点都在一个球面上 则该球的表面积为 解析由题意知 该三棱柱为正三棱柱 且侧棱与底面边长相等 均为a 如图 P为三棱柱上底面的中心 O为球心 答案 解析 命题角度2球的截面例3已知过球面上三点A B C的截面到球心的距离等于球半径的一半 且AC BC 6 AB 4 求球的表面积与球的体积 解答 解如图所示 设球心为O 球半径为R 作OO1 平面ABC于点O1 由于OA OB OC R 则O1是 ABC的外心 设M是AB的中点 由于AC BC 则O1 CM 设O1M x 易知O1M AB 又O1A O1C OO1A 90 OA R 反思与感悟设球的截面圆上一点A 球心为O 截面圆心为O1 则 AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形 在解答球心的截面问题时 常用该直角三角形求解 并常用过球心和截面圆心的轴截面 跟踪训练3用过球心的平面将一个球分成两个半球 则两个半球的表面积之和是原来整球表面积的 倍 解析设球的半径为R 则S球表 4 R2 分成两个半球后 表面积为原来球的表面积再加上两个圆面面积 S圆 R2 两个半球的表面积之和S S球表 2S圆 6 R2 S S球表 3 2 答案 解析 例4如图 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋 如果冰淇淋融化了 会溢出杯子吗 请用你的计算数据说明理由 类型三组合体的体积 解答 解不会溢出杯子 理由如下 所以V半球 V圆锥 所以冰淇淋融化了不会溢出杯子 反思与感悟代公式计算几何体的体积时 注意柱体与锥体的体积公式的区别 跟踪训练4如图 在四边形ABCD中 DAB 90 ADC 135 AB 5 CD 2 AD 2 求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所得的几何体的体积 解答 解如图 过点C作CE垂直于AD 交AD延长线于点E 则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所在直线旋转一周所得的圆台的体积 减去 EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆锥的体积 所以所求几何体的体积V V圆台 V圆锥 达标检测 答案 解析 1 已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2 高为4cm 现将它熔化后铸成一个正方体的铜块 不计损耗 那么铸成的铜块的棱长是 cm 1 2 3 4 5 4 解析 铜质的五棱柱的底面积为16cm2 高为4cm 铜质的五棱柱的体积V 16 4 64 cm3 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm 则a3 64 解得a 4 cm 答案 解析 2 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4 那么圆柱的体积等于 1 2 3 4 5 2 解析设圆柱的底面半径为r 则S侧 2 r 2r 4 r2 4 得r 1 则圆柱的体积为 r2 2r 2 答案 解析 3 正方体的外接球的体积是其内切球的体积的 倍 1 2 3 4 5 外接球的直径为正方体的体对角线 答案 解析 4 设正六棱锥的底面边长为1 侧棱长为 那么它的体积为 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 如图 1 所示 一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1cm和底面半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体 当这个几何体如图 2 水平放置时 液面高度为20cm 当这个几何体如图 3 水平放置时 液面高度为28cm 则这个简单几何体的总高度为 cm 29 答案 解析 1 2 3 4 5 解析在图 2 和图 3 中 瓶子上部没有液体的部分容积相等 设这个简单几何体的总高度为hcm 则有 12 h 20 32 h 28 解得h 29 cm 1 柱体 锥体 台体的体积之间的内在关系 规律与方法 2 在三棱锥A BCD中 若求点A到平面BCD的距离h 可以先求VA BCD h 这种方法就是用等体积法求点到平面的距离 其中V一般用换顶点法求解 即VA BCD VB ACD VC ABD VD ABC 求解的原则是V易求 且 BCD的面积易求 3 求几何体的体积 要注意分割与补形 将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解 4 利用球的半径 球心到截面圆的距离 截面圆的半径可构成直角三角形 进行相关计算 5 解决球与其他几何体的切接问题时 通常先作截面 将球与几何体的各量体现在平面图形中 再进行相关计算