一 积分上限函数及其导数 二 积分上限函数求导法则 三 微积分基本公式 第二节 微积分基本定理 1 积分上限函数 设 在区间 上连续 且 则 存在 如积分上限 在 上任意变动 那么对于每一取定的 值 均有唯一的数 与之对应 所以 是一个定义在 上的关于 的函数 记为 一 积分上限函数及其导数 几何意义 变上限积分函数 在几何上表 示为右端线可以变动的曲边梯形的面积 变上限积分 定积分 定理6 1 若 在 上连续 则积分 上限函数 在 可导 且 或者 定理6 2 若函数 在 上连续 则积 分上限函数 是 在区间 上的一个原函数 例1 例2 结论1 例3 结论2 例4 结论3 1 同学练习1 2 3 2 求 解 由法则2得 练习答案 例 求 解 这是一个 型未定式 可利用洛必达法 则计算 分子为 因此 例 求 解 这是一个 型未定式 可利用洛必达法 则计算 分子为 因此 同学练习2 1 2 定积分的直接积分法 1 定理3 若函数 是连续函数 在区 间 上的一个原函数 则 该公式叫微积分基本公式 也叫牛顿 莱布 尼茨公式 三 微积分基本公式 2 说明 2 微积分基本公式揭示了定积分与不定积分 之间的关系 1 微积分基本公式使用的条件是 被积函数 在积分区间 上必须连续 若不满足 条件 不能使用公式 3 例题 例5 求 解 例6 求 解 例7 解 同学练习1 求 例9 分段函数定积分 解 同学练习2 解 当 时 求 在 上的表达式 例8 设 当 时 所以 由例7 例8 例9可见 若被积函数在积分区 间上存在有限个第一类间断点 或在积分区间 上分段表示 或带有绝对值 应利用定积分在 积分区间的可加性分段积分 以保证被积函数 在各积分区间上的连续性或非负性 知识回顾知识回顾 Knowledge Knowledge ReviewReview