第3课时利用导数研究函数零点问题 考点一利用最值 极值 判断零点个数 考点二利用数形结合法研究零点问题 考点突破 考点三构造函数研究零点问题 利用最值 极值 判断零点个数 考点突破 典例1已知函数f x ax2 1 a x lnx a R 1 当a 0时 求函数f x 的单调递减区间 2 当a 0时 设函数g x xf x k x 2 2 若函数g x 在区间上有两个零点 求实数k的取值范围 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 的导数为f x ax 1 a a 0 当a 0 1 时 1 由f x 或0 x 1 所以f x 的单调递减区间为 0 1 当a 1时 恒有f x 0 所以f x 的单调递减区间为 0 当a 1 时 1或0 x 所以f x 的单调递减区间为 1 综上 当a 0 1 时 f x 的单调递减区间为 0 1 当a 1时 f x 的单调递减区间为 0 当a 1 时 f x 的单调递减区间为 1 2 g x x2 xlnx k x 2 2在x 上有两个零点 即关于x的方程k 在x 上有两个不相等的实数根 令h x x 则h x 令p x x2 3x 2lnx 4 x 则p x 在上有p x 0 故p x 在上单调递增 因为p 1 0 所以当x 时 有p x 0 即h x 0 所以h x 单调递增 因为h h 1 1 所以k的取值范围为 规律总结利用函数的极值 最值 判断函数零点个数 主要是借助导数研究函数的单调性 极值后 通过极值的正负 函数单调性判断函数图象走势 从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围 利用数形结合法研究零点问题 典例2已知f x ax2 a R g x 2lnx 1 讨论函数F x f x g x 的单调性 2 若方程f x g x 在区间 e 上有两个不相等的实根 求a的取值范围 解析 1 F x ax2 2lnx 其定义域为 0 所以F x 2ax x 0 当a 0时 由ax2 1 0 得x 由ax2 10时 F x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 当a 0时 F x 0 恒成立 故当a 0时 F x 在 0 上单调递减 2 由题意得a 在区间 e 上有两个不相等的实根 令 x x e 则 x 易知 x 在 上为增函数 在 e 上为减函数 则 x max 而 e 由 e 0 所以 e 所以 x min e 由图可知当 x a有两个不相等的实根时 需 a 即f x g x 在 e 上有两个不相等的实根时a的取值范围是 规律总结对于方程解的个数 或函数零点个数 问题 可转化为求两个函数图象的交点个数问题 构造函数研究零点问题 典例3设函数f x x2 mlnx g x x2 m 1 x 1 求函数f x 的单调区间 2 当m 1时 讨论函数f x 与g x 图象的交点个数 解析 1 函数f x 的定义域为 0 f x x 当m 0时 f x 0 所以f x 在 0 上单调递增 当m 0时 f x 所以当0时 f x 0 函数f x 单调递增 综上 当m 0时 f x 在 0 上单调递增 当m 0时 函数f x 的单调增区间是 单调减区间是 0 2 令F x f x g x x2 m 1 x mlnx x 0 问题等价于求函数F x 的零点个数问题 F x 当m 1时 F x 0 F x 为减函数 因为F 1 0 F 4 ln4 0 所以F x 有唯一零点 当m 1时 0m时 F x 0 所以函数F x 在 0 1 和 m 上单调递减 在 1 m 上单调递增 因为F 1 m 0 F 2m 2 mln 2m 2 0 所以F x 有唯一零点 综上 函数F x 有唯一零点 即两函数图象总有一个交点 规律总结1 涉及函数的零点 方程的根 问题 主要利用导数确定函数的单调区间及极值点 根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系 从而求得参数的取值范围 2 解决此类问题的关键是将函数零点 方程的根 曲线交点相互转化 突出导数的工具作用 体现转化与化归的思想方法