数 学 必修 人教A版 新课标导学新课标导学 第一章 空间几何体 1 3 空间几何体的表面积与体积 1 3 2 球的体积和表面积 1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 自主预习学案 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 观察下面的几何体 你能求出它们的体积和表面积吗 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 1 球的体积 球的半径为R 那么它的体积V 2 球的表面积 球的半径为R 那么它的表面积S 4 R2 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 归纳总结 对球的表面积与体积公式的几点认识 1 从公式看 球的表面积和体积的大小 只与球的半径相关 给定R都有 惟一确定的S和V与之对应 故表面积和体积是关于R的函数 2 由于球的表面不能展开成平面 所以 球的表面积公式的推导与前面所 学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的 3 球的表面积恰好是球的大圆 过球心的平面截球面所得的圆 面积的4倍 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 D 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 D 解析 球的直径为2 球的半径为1 球的表面积S 4 R2 4 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 C 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 解析 AB BC AC 18 24 30 3 4 5 ABC是直角三角形 B 90 又球心O到截面 ABC的投影O 为截面 圆的圆心 也即是Rt ABC的外接圆的圆心 斜边AC为截面圆O 的直径 如图所示 设O C r OC R 则球半径R 截面圆半径r 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 互动探究学案 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向1 球的表面积与体积 典例 1 B 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 A 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向2 根据三视图计算球的体积与表面积 典例 2 思路分析 本题条件中给出的是几何体的三视图 及数据 解题时要先根据俯视图来确定几何体的上 下部分形状 然后根据侧视图与正视图确定几何体的 形状 并根据有关数据计算 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 规律方法 三视图中有关球的计算问题 1 由三视图求简单组合体的表面积或体积时 最重要的是还原组合体 并 弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义 根据球与球的组合体的结构特 征及数据计算其表面积或体积 2 计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接 避免重叠 和交叉等 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 C 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 考虑问题不周到致误 典例 3 错解 如图 所示为球的轴截面 由球的截面性 质知AO1 BO2 且O1 O2为两截面圆的圆心 则 OO1 AO1 OO2 BO2 设球的半径为R O2B2 49 O2B 7 cm 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 同理 得O1A 20 cm 设OO1 x cm 则OO2 x 9 cm 在Rt O1OA中 R2 x2 202 在Rt OO2B中 R2 72 x 9 2 联立 可得x 15 R 25 S球 4 R2 2 500 cm 2 故球的表面积为2 500 cm2 错因分析 两个平行截面可能在球心同侧 此时OO2 OO1 9 也可能在 球心两侧 此时OO1 OO2 9 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 常见的切与接问题 1 球内切于旋转体 圆柱 圆锥 圆台 或旋转体内接于球 解题的关键是 抓住轴截面中各几何量 2 多面体 长方体 正方体 正四面体 正三棱锥 正四棱锥 正三棱柱 等 内接于球 关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系 3 球内切于多面体 主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径 几何直观与空间想象能力 切与接 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 思路分析 有关球的内切和外接问题 作出轴截面研究 数学 典例 4 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 规律方法 常见的几何体与球的切 接问题的解决策略 1 处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时 要注意球心的位置与几 何体的关系 一般情况下 由于球的对称性 球心总在几何体的特殊位置 比 如中心 对角线的中点等 2 解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径 关 键是根据 切点 和 接点 作出轴截面图 把空间问题转化为平面问题来计算 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 B 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 B 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 C 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 8 返回导航 第一章 空间几何体 数 学 必 修 人 教 A 版 课时作业学案