4 2数列大题 2 3 4 5 1 求通项公式的常见类型 1 已知an与Sn的关系或Sn与n的关系 利用公式 2 等差数列 等比数列求通项或转化为等差 比 数列求通项 3 由递推关系式求数列的通项公式 形如an 1 an f n 利用累加法求通项 形如an 1 anf n 利用累乘法求通项 6 2 数列求和的常用方法 1 公式法 利用等差数列 等比数列的求和公式 2 错位相减法 适合求数列 an bn 的前n项和Sn 其中 an bn 一个是等差数列 另一个是等比数列 3 裂项相消法 即将数列的通项分成两个式子的代数和 通过累加抵消中间若干项的方法 4 拆项分组法 先把数列的每一项拆成两项 或多项 再重新组合成两个 或多个 简单的数列 最后分别求和 5 并项求和法 把数列的两项 或多项 组合在一起 重新构成一个数列再求和 适用于正负相间排列的数列求和 3 数列单调性的常见题型及方法 1 求最大 小 项时 可利用 数列的单调性 函数的单调性 导数 2 求参数范围时 可利用 作差法 同号递推法 先猜后证法 7 4 数列不等式问题的解决方法 1 利用数列 或函数 的单调性 2 放缩法 先求和后放缩 先放缩后求和 包括放缩后成等差 或等比 数列再求和 或者放缩后裂项相消再求和 4 2 1等差 等比数列与数列的通项及求和 9 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 等差 等比数列的通项及求和例1 2018全国 理17 记Sn为等差数列 an 的前n项和 已知a1 7 S3 15 1 求 an 的通项公式 2 求Sn 并求Sn的最小值 解 1 设 an 的公差为d 由题意得3a1 3d 15 由a1 7得d 2 所以 an 的通项公式为an 2n 9 2 由 1 得Sn n2 8n n 4 2 16 所以当n 4时 Sn取得最小值 最小值为 16 解题心得对于等差 等比数列 求其通项及前n项和时 只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可 10 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练1已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且a1 a11 a13成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 求a1 a4 a7 a3n 2 解 1 设 an 的公差为d 即 a1 10d 2 a1 a1 12d 于是d 2a1 25d 0 又a1 25 所以d 0 舍去 或d 2 故an 2n 27 2 令Sn a1 a4 a7 a3n 2 由 1 知a3n 2 6n 31 故 a3n 2 是首项为25 公差为 6的等差数列 11 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 可转化为等差 等比数列的问题例2已知等比数列 an 的前n项和为Sn a1 3 且3S1 2S2 S3成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log3an 求Tn b1b2 b2b3 b3b4 b4b5 b2n 1b2n b2nb2n 1 解 1 3S1 2S2 S3成等差数列 4S2 3S1 S3 4 a1 a2 3a1 a1 a2 a3 即a3 3a2 公比q 3 an a1qn 1 3n 12 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和 通过变形 整理后 能够把数列转化为等差数列或等比数列 进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 2 由 1 知 bn log3an log33n n b2n 1b2n b2nb2n 1 2n 1 2n 2n 2n 1 4n Tn b1b2 b2b3 b3b4 b4b5 b2n 1b2n b2nb2n 1 13 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练2设 an 是公比大于1的等比数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 14 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 1 由已知得 15 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 由 1 得a3n 1 23n bn ln23n 3nln2 bn 1 bn 3ln2 数列 bn 为等差数列 16 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求数列的通项及错位相减求和例3已知 an 为等差数列 前n项和为Sn n N bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nb2n 1 的前n项和 n N 17 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由S11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 数列 an 的通项公式为an 3n 2 数列 bn 的通项公式为bn 2n 18 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 设数列 a2nb2n 1 的前n项和为Tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 有a2nb2n 1 3n 1 4n 故Tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4Tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 上述两式相减 得 3Tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 19 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得求数列通项的基本方法是利用等差 等比数列通项公式 或通过变形转换成等差 等比数列求通项 如果数列 an 与数列 bn 分别是等差数列和等比数列 那么数列 an bn 的前n项和采用错位相减法来求 20 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练3 2018浙江 20 已知等比数列 an 的公比q 1 且a3 a4 a5 28 a4 2是a3 a5的等差中项 数列 bn 满足b1 1 数列 bn 1 bn an 的前n项和为2n2 n 1 求q的值 2 求数列 bn 的通项公式 解 1 由a4 2是a3 a5的等差中项 得a3 a5 2a4 4 所以a3 a4 a5 3a4 4 28 解得a4 8 21 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 设cn bn 1 bn an 数列 cn 前n项和为Sn 22 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 23 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求数列的通项及裂项求和例4已知数列 an 的前n项和为Sn 且对任意正整数n 都有3an 2Sn 3成立 1 求数列 an 的通项公式 解 1 在3an 2Sn 3中 取n 1 得a1 3 且3an 1 2Sn 1 3 两式相减 得3an 1 3an 2an 1 an 1 3an a1 0 数列 an 是以3为公比的等比数列 an 3 3n 1 3n 24 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 由 1 得bn log3an n 解题心得对于已知等式中含有an Sn的求数列通项的题目 一般有两种解题思路 一是消去Sn得到f an 0 求出an 二是消去an得到g Sn 0 求出Sn 再求an 把数列的通项拆成两项之差 求和时中间的项能够抵消 从而求得其和 注意抵消后所剩余的项一般前后对称 25 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练4Sn为数列 an 的前n项和 已知an 0 2an 4Sn 3 1 求 an 的通项公式 所以 an 是首项为3 公差为2的等差数列 通项公式为an 2n 1 26 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 由an 2n 1可知 设数列 bn 的前n项和为Tn 则Tn b1 b2 bn 27 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 涉及奇偶数讨论的数列求和例5已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且a1 2 S5 30 数列 bn 的前n项和为Tn 且Tn 2n 1 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设cn 1 n anbn lnSn 求数列 cn 的前n项和 对数列 bn 当n 1时 b1 T1 21 1 1 当n 2时 bn Tn Tn 1 2n 2n 1 2n 1 当n 1时也满足上式 bn 2n 1 28 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 cn 1 n anbn lnSn 1 nanbn 1 nlnSn lnSn lnn n 1 lnn ln n 1 而 1 nanbn 1 n 2n 2n 1 n 2 n 设数列 1 nanbn 的前n项和为An 数列 1 nlnSn 的前n项和为Bn 则An 1 2 1 2 2 2 3 2 3 n 2 n 则 2An 1 2 2 2 2 3 3 2 4 n 2 n 1 得3An 1 2 1 2 2 2 3 2 n n 2 n 1 29 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 当n为偶数时 Bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 当n为奇数时 Bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 由以上可知 Bn 1 nln n 1 30 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练5已知函数f x 4x 4 f a1 f a2 f an 2n 3 n N 成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 解 1 4 f a1 f a2 f an 2n 3成等比数列 其公比设为q 2n 3 4 qn 2 1 解得q 2 31 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五