A组统一命题 课标卷题组考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1 2018课标全国 3 5分 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 构件的凸出部分叫榫头 凹进部分叫卯眼 图中木构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 五年高考 答案A本题考查空间几何体的三视图 两木构件咬合成长方体时 榫头完全进入卯眼 易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为A 故选A 2 2018课标全国 9 5分 某圆柱的高为2 底面周长为16 其三视图如图 圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B 则在此圆柱侧面上 从M到N的路径中 最短路径的长度为 A 2B 2C 3D 2 答案B本题主要考查空间几何体的三视图 直观图以及最短路径 由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示 设ME与FN为圆柱的两条母线 沿FN将圆柱侧面展开 如图2所示 MN即为从M到N的最短路径 由题知 ME 2 EN 4 MN 2 故选B 图1图2 方法点拨1 由三视图还原直观图需遵循以下三步 1 看视图明关系 2 分部分想整体 3 合起来定整体 2 解决空间几何体表面上两点间的距离的常用方法 把立体图形展为平面图形 利用两点之间线段最短进行求解 3 2014课标 8 5分 如图 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画出的是一个几何体的三视图 则这个几何体是 A 三棱锥B 三棱柱C 四棱锥D 四棱柱 答案B由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示 则这个几何体是三棱柱 故选B 4 2016课标全国 10 5分 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某多面体的三视图 则该多面体的表面积为 A 18 36B 54 18C 90D 81 答案B由三视图可知 该几何体是底面为正方形 边长为3 高为6 侧棱长为3的斜四棱柱 其表面积S 2 32 2 3 3 2 3 6 54 18 故选B 易错警示学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6 或漏算了两底面的面积而致错 评析本题考查了三视图和柱体的表面积 考查了空间想象能力 5 2016课标全国 7 5分 下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体的表面积为 A 20 B 24 C 28 D 32 答案C由三视图知圆锥的高为2 底面半径为2 则圆锥的母线长为4 所以圆锥的侧面积为 4 4 8 圆柱的底面积为4 圆柱的侧面积为4 4 16 从而该几何体的表面积为8 16 4 28 故选C 评析本题考查了三视图和圆柱 圆锥的侧面积公式 运算失误是失分的主要原因 6 2015课标 6 5分 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如图所示 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A B C D 答案D如图 由已知条件可知 截去部分是以 AB1D1为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥A1 AB1D1 设正方体的棱长为a 则截去部分的体积为a3 剩余部分的体积为a3 a3 a3 它们的体积之比为 故选D 7 2017课标全国 6 5分 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某几何体的三视图 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 则该几何体的体积为 A 90 B 63 C 42 D 36 答案B本题考查三视图和空间几何体的体积 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6 高为14的圆柱 所以该几何体的体积V 32 14 63 故选B 方法总结当所求的几何体不规则时 可利用割补法求其体积 8 2016课标 7 5分 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 若该几何体的体积是 则它的表面积是 A 17 B 18 C 20 D 28 答案A由三视图知该几何体为球去掉了所剩的几何体 如图 设球的半径为R 则 R3 故R 2 从而它的表面积S 4 R2 R2 17 故选A 解后反思球的表面积公式和体积公式要记准 记牢 在计算表面积时 不重不漏 是关键所在 评析本题考查了球的表面积和体积 考查了三视图和直观图 9 2015课标 11 5分 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为r 组成一个几何体 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为16 20 则r A 1B 2C 4D 8 答案B由已知可知 该几何体的直观图如图所示 其表面积为2 r2 r2 4r2 2 r2 5 r2 4r2 由5 r2 4r2 16 20 得r 2 故选B 思路分析根据三视图求几何体的表面积 关键在于根据三视图还原几何体 要掌握常见几何体的三视图 并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系 求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱 锥 台体 先求这些柱 锥 台体的表面积 再通过求和或作差求得几何体的表面积 1 2018课标全国 12 5分 设A B C D是同一个半径为4的球的球面上四点 ABC为等边三角形且其面积为9 则三棱锥D ABC体积的最大值为 A 12B 18C 24D 54 考点二空间几何体的表面积和体积 答案B本题考查空间几何体的体积及与球有关的切接问题 设等边 ABC的边长为a 则有S ABC a a sin60 9 解得a 6 设 ABC外接圆的半径为r 则2r 解得r 2 则球心到平面ABC的距离为 2 所以点D到平面ABC的最大距离为2 4 6 所以三棱锥D ABC体积的最大值为 9 6 18 故选B 方法总结解决与球有关的切 接问题的策略 1 接 的处理 构造正 长 方体 转化为正 长 方体的外接球问题 空间问题平面化 把平面问题转化到直角三角形中 作出适当截面 过球心 接点等 利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线 2 切 的处理 体积分割法求内切球半径 作出合适的截面 过球心 切点等 在平面上求解 多球相切问题 连接各球球心 转化为处理多面体问题 2 2018课标全国 5 5分 已知圆柱的上 下底面的中心分别为O1 O2 过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形 则该圆柱的表面积为 A 12 B 12 C 8 D 10 答案B本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面 设圆柱的底面半径为r 高为h 由题意可知2r h 2 圆柱的表面积S 2 r2 2 r h 4 8 12 故选B 解题关键正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键 3 2018课标全国 10 5分 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AC1与平面BB1C1C所成的角为30 则该长方体的体积为 A 8B 6C 8D 8 答案C本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角 如图 由长方体的性质可得AB 平面BCC1B1 BC1为直线AC1在平面BCC1B1内的射影 AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成的角 即 AC1B 30 在Rt ABC1中 AB 2 AC1B 30 BC1 2 在Rt BCC1中 CC1 2 该长方体的体积V 2 2 2 8 故选C 易错警示不能准确理解线面角的定义 无法找出直线与平面所成的角 从而导致失分 方法总结用定义法求线面角的步骤 1 找出斜线上的某一点在平面内的射影 2 连接该射影与直线和平面的交点即可得出线面角 3 构建直角三角形 求解得出结论 4 2016课标全国 4 5分 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上 则该球的表面积为 A 12 B C 8 D 4 答案A设正方体的棱长为a 则a3 8 解得a 2 设球的半径为R 则2R a 即R 所以球的表面积S 4 R2 12 故选A 评析本题考查了正方体和球的切接问题 正方体的体对角线即为其外接球的直径 5 2014课标 7 5分 0 495 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2 侧棱长为 D为BC中点 则三棱锥A B1DC1的体积为 A 3B C 1D 答案C在正三棱柱ABC A1B1C1中 AD BC AD 平面B1DC1 AD 2 1 故选C 6 2017课标全国 9 5分 已知圆柱的高为1 它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上 则该圆柱的体积为 A B C D 答案B过球心和圆柱底面的圆心作球和圆柱的截面 圆柱的截面一边长为1 其邻边长为2r r为圆柱底面圆的半径 的长方形 长方形的对角线是球的直径 故12 2r 2 22 解得r 圆柱的体积V r2 1 故选B 7 2016课标全国 11 5分 在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V的球 若AB BC AB 6 BC 8 AA1 3 则V的最大值是 A 4 B C 6 D 答案B易得AC 10 设底面 ABC的内切圆的半径为r 则 6 8 6 8 10 r 所以r 2 因为2r 4 3 所以最大球的直径2R 3 即R 此时球的体积V R3 故选B 评析本题考查了球的体积公式和空间想象能力 8 2015课标 10 5分 0 459 已知A B是球O的球面上两点 AOB 90 C为该球面上的动点 若三棱锥O ABC体积的最大值为36 则球O的表面积为 A 36 B 64 C 144 D 256 答案C因为 AOB的面积为定值 当OC垂直于平面AOB时 三棱锥O ABC的体积取得最大值 由R3 36得R 6 从而球O的表面积S 4 R2 144 故选C 思路分析解题关键是确定动点C的位置 根据题意 当点C在垂直于面AOB的直径的端点处时 三棱锥O ABC的体积最大 利用三棱锥O ABC的体积最大值为36求出半径 再求球O的表面积 9 2018课标全国 16 5分 已知圆锥的顶点为S 母线SA SB互相垂直 SA与圆锥底面所成角为30 若 SAB的面积为8 则该圆锥的体积为 答案8 解析本题主要考查圆锥的性质和体积 直线与平面所成的角 设圆锥底面半径为r 母线长为l 高为h 因为母线SA与底面所成的角为30 所以l r 由 SAB的面积为8得l2 8 即 r2 8 所以r2 12 h r 2 所以圆锥的体积为 r2h 12 2 8 疑难突破由母线与底面所成的角找到圆锥的底面半径r与母线长l 高h的等量关系是解决本题的突破口 10 2017课标全国 15 5分 长方体的长 宽 高分别为3 2 1 其顶点都在球O的球面上 则球O的表面积为 答案14 解析本题考查长方体和球的性质 考查了球的表面积公式 由题意知长方体的体对角线为球O的直径 设球O的半径为R 则 2R 2 32 22 12 14 得R2 所以球O的表面积为4 R2 14 疑难突破长方体的体对角线为球的直径是求解的关键 易错警示易因用错球的表面积公式而致错 11 2017课标全国 16 5分 已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上 SC是球O的直径 若平面SCA 平面SCB SA AC SB BC 三棱锥S ABC的体积为9 则球O的表面积为 答案36 解析由题意作出图形 如图 设球O的半径为R 由题意知SB BC SA AC 又SB BC SA AC 则SB BC SA AC R 连接OA OB 则OA SC OB SC 因为平面SCA 平面SCB 平面SCA 平面SCB SC 所以OA 平面SCB 所以OA OB 则AB R 所以 ABC是边长为R的等边三角形 设 ABC的中心为O1 连接OO1 CO1 则OO1 平面ABC CO1 R R 则OO1 R 则VS ABC 2VO ABC 2 R 2 R R3 9 所以R 3 所以球O的表面积S 4 R2 36 B组自主命题 省 区 市 卷题组考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1 2018北京 6 5分 某四棱锥的三视图如图所示 在此四棱锥的侧面中 直角三角形的个数为 A 1B 2C 3D 4 答案C本题主要考查空间几何体的三视图和直观图 空间线面位置关系 由三视图得几何体的直观图 如图 其中SD 底面ABCD AB AD AB CD SD AD CD 2 AB 1 故 SDC SDA为直角三角形 AB A