高考数学 浙江专用 11 1排列 组合 考点排列 组合 考点清单 考向基础1 分类计数原理 分步计数原理 1 完成一件事有n类办法 各类办法相互独立 每类办法中又有多种不同的方法 则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和 这就是分类计数原理 2 完成一件事 需要分成n个步骤 每一步的完成有多种不同的方法 则完成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积 这就是分步计数原理 2 分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数 它们的区别在于 分类计数原理与分类有关 各种方法相互独立 用其中任一种方法都可以完成这件事 分步计数原理与分步有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成了 3 排列 1 定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用 表示 3 排列数公式 n n 1 n m 1 4 全排列 n个不同元素全部取出的一个排列 叫做n个不同元素的一个全排列 n n 1 n 2 3 2 1 n 于是排列数公式写成阶乘形式为 规定0 1 4 组合 1 定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2 组合数定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有不同组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用 表示 3 计算公式 由于0 1 所以 1 5 组合数的性质 1 2 考向突破 考向一排列问题 例1 2018浙江9 1高中联盟期中 14 4支足球队两两比赛 若每场比赛都分出胜负 每队赢的概率都为0 5 并且每队赢的场数各不相同 则不同结果的种数为 其概率为 解析 4支足球队两两比赛 每场比赛都分出胜负 每队赢的概率都为0 5 并且每队赢的场数各不相同 4队比6场 只考虑胜场 且各不相同 4支球队赢的场数分别为0 1 2 3 共有 4 3 2 1 24种结果 其概率P 0 56 答案24 考向二组合问题 例2 2018浙江 七彩阳光 联盟期中 17 设集合A a b c 其中a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 若a b c满足a b c 且2 c b 6 则集合A的个数为 解析解法一 a b c 2 c b 6 c 4 当c 4时 a 1 b 2 则集合A的个数为 1 当c 5时 a b 1 2 3 则集合A的个数为 3 当c 6时 a b 1 2 3 4 则集合A的个数为 6 当c 7时 a b 1 2 3 4 5 则集合A的个数为 10 当c 8时 a b 1 2 3 4 5 6 则集合A的个数为 15 当c 9时 a b 1 2 3 4 5 6 7 且a 1 b 2时 不符合 则集合A的个数为 1 20 故总共有1 3 6 10 15 20 55 解法二 从集合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中任取三个不同的数组成集合A 共有 84个 而2 c b 6 故需减去c b 1和c b 7的集合的个数 若c b 1 则有以下情形 b 2 c 3时 集合的个数为1 b 3 c 4时 集合的个数为2 b 4 c 5时 集合的个数为3 b 5 c 6时 集合的个数为4 b 6 c 7时 集合的个数为5 b 7 c 8时 集合的个数为6 b 8 c 9时 集合的个数为7 集合的总个数为1 2 3 4 5 6 7 28 若c b 7 则只有a 1 b 2 c 9 集合的个数为1 所以集合A的个数为84 28 1 55 答案55 考向三排列组合综合问题 例3 2018浙江嵊州第一学期期末质检 16 某学校要安排2位数学老师 2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任 每个班级安排1个班主任 由于某种原因 数学老师不担任A班的班主任 英语老师不担任B班的班主任 化学老师不担任C班和D班的班主任 则共有种不同的安排方法 用数字作答 解析我们将5位老师看成5个不同的盒子 其中数学老师分别为1 2号盒子 英语老师分别为3 4号盒子 化学老师为5号盒子 A B C D E看成5个不同的小球 先将5个球放入5个盒子中 满足盒子非空 且A不能放入1 2号盒子 B不能放入3 4号盒子 C D不能放入5号盒子 为了方便起见 我们对C D分类讨论 若C D恰好放入1 2号盒子 有种放法 此时B可放入5号盒子 有1种放法 剩余的A E任意放置 有种放法 由分步乘法计数原理知 共有 1 4种放法 若C D恰好放入3 4号盒子 同样也有4种放法 若C D恰有一个放入1 2号盒子 不妨设放入1号 一个放入3 4号盒子 不妨设放入3号 有 种放法 此时考虑A 若A放入4号 B有2种选择 若A放入 5号 则B只能放入2号 有 2 1 24种放法 综上 由分类加法计数原理知 共有32种满足条件的安排方法 评析对于人员安排问题 我们总是可以抽象成取球模型 在具体的处理过程中 我们一定要优先考虑特殊元素或特殊位置 答案32 方法排列组合综合问题的解题方法 1 特殊元素优先安排的策略 2 合理分类与准确分步的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 4 正难则反 等价转化的策略 5 相邻问题捆绑处理的策略 6 不相邻问题插空处理的策略 7 定序问题除法处理的策略 8 分排问题直排处理的策略 方法技巧 9 小集团 排列问题中先整体后局部的策略 10 构造模型的策略 例 2018浙江新高考调研卷二 镇海中学 16 现安排甲 乙等5人参加3个运动项目 要求甲 乙两人不能参加同一个项目 每个项目都必须有人参加 每人只参加一个项目 则满足上述要求的不同安排方法种数为 解析解法一 按 3 1 1 分组 有 42种方法 按 2 2 1 分组 有 72种方法 故共有114种安排方法 解法二 甲参加的项目有3人 则方法种数为 18 甲参加的项目有2人 这时乙参加的项目组合有3种 则方法种数为 54 甲参加的项目只有1人 这时乙参加的项目组合有7种 则方法种数为 42 综上 由分类加法计数原理知 共有114种安排方法满足上述要求 答案114