9 1直线方程与圆的方程 高考理数 课标专用 考点一直线方程 2015课标 20 12分 0 308 在直角坐标系xOy中 曲线C y 与直线l y kx a a 0 交于M N两点 1 当k 0时 分别求C在点M和N处的切线方程 2 y轴上是否存在点P 使得当k变动时 总有 OPM OPN 说明理由 A组统一命题 课标卷题组 五年高考 解析 1 由题设可得M 2 a N 2 a 或M 2 a N 2 a 又y 故y 在x 2处的导数值为 C在点 2 a 处的切线方程为y a x 2 即x y a 0 y 在x 2处的导数值为 C在点 2 a 处的切线方程为y a x 2 即x y a 0 故所求切线方程为x y a 0和x y a 0 5分 2 存在符合题意的点 证明如下 设P 0 b 为符合题意的点 M x1 y1 N x2 y2 直线PM PN的斜率分别为k1 k2 将y kx a代入C的方程得x2 4kx 4a 0 故x1 x2 4k x1x2 4a 从而k1 k2 当b a时 有k1 k2 0 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补 故 OPM OPN 所以点P 0 a 符合题意 12分 疑难突破要使 OPM OPN 只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数 考点二圆的方程1 2016课标 4 5分 圆x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为1 则a A B C D 2 答案A圆的方程可化为 x 1 2 y 4 2 4 则圆心坐标为 1 4 圆心到直线ax y 1 0的距离为 1 解得a 故选A 思路分析将圆的方程化成标准方程 从而得出圆心坐标 进而利用点到直线的距离公式列出关于a的方程 解方程即可求得a的值 2 2015课标 14 5分 0 534 一个圆经过椭圆 1的三个顶点 且圆心在x轴的正半轴上 则该圆的标准方程为 答案 y2 解析由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A 4 0 B 0 2 C 0 2 易知线段AB的垂直平分线的方程为2x y 3 0 令y 0 得x 所以圆心坐标为 则半径r 4 故该圆的标准方程为 y2 思路分析由已知条件和椭圆的方程分析出圆所经过的顶点的坐标 然后求出圆心坐标 进一步求出圆的半径 从而得到圆的标准方程 解题关键利用圆的几何性质求出圆心坐标是解题的关键 3 2018课标 19 12分 设抛物线C y2 4x的焦点为F 过F且斜率为k k 0 的直线l与C交于A B两点 AB 8 1 求l的方程 2 求过点A B且与C的准线相切的圆的方程 解析 1 由题意得F 1 0 l的方程为y k x 1 k 0 设A x1 y1 B x2 y2 由得k2x2 2k2 4 x k2 0 16k2 16 0 故x1 x2 所以 AB AF BF x1 1 x2 1 由题设知 8 解得k 1 舍去 或k 1 因此l的方程为y x 1 2 由 1 得AB的中点坐标为 3 2 所以AB的垂直平分线方程为y 2 x 3 即y x 5 设所求圆的圆心坐标为 x0 y0 则解得或因此所求圆的方程为 x 3 2 y 2 2 16或 x 11 2 y 6 2 144 方法总结有关抛物线的焦点弦问题 常用抛物线的定义进行转化求解 在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算 一般地 求直线和圆的方程时 利用待定系数法求解 4 2017课标 20 12分 已知抛物线C y2 2x 过点 2 0 的直线l交C于A B两点 圆M是以线段AB为直径的圆 1 证明 坐标原点O在圆M上 2 设圆M过点P 4 2 求直线l与圆M的方程 解析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系 1 设A x1 y1 B x2 y2 l x my 2 由可得y2 2my 4 0 则y1y2 4 又x1 x2 故x1x2 4 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 1 所以OA OB 故坐标原点O在圆M上 2 由 1 可得y1 y2 2m x1 x2 m y1 y2 4 2m2 4 故圆心M的坐标为 m2 2 m 圆M的半径r 由于圆M过点P 4 2 因此 0 故 x1 4 x2 4 y1 2 y2 2 0 即x1x2 4 x1 x2 y1y2 2 y1 y2 20 0 由 1 可得y1y2 4 x1x2 4 所以2m2 m 1 0 解得m 1或m 当m 1时 直线l的方程为x y 2 0 圆心M的坐标为 3 1 圆M的半径为 圆M的方程为 x 3 2 y 1 2 10 当m 时 直线l的方程为2x y 4 0 圆心M的坐标为 圆M的半径为 圆M的方程为 解后反思直线与圆锥曲线相交问题 常联立方程 消元得到一个一元二次方程 然后利用根与系数的关系处理 以某线段为直径的圆的方程 也可以用该线段的两端点坐标 x1 y1 x2 y2 表示 x x1 x x2 y y1 y y2 0 考点圆的方程1 2014陕西 12 5分 若圆C的半径为1 其圆心与点 1 0 关于直线y x对称 则圆C的标准方程为 B组自主命题 省 区 市 卷题组 答案x2 y 1 2 1 解析根据题意得点 1 0 关于直线y x对称的点 0 1 为圆心 又半径r 1 所以圆C的标准方程为x2 y 1 2 1 2 2016江苏 18 16分 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知以M为圆心的圆M x2 y2 12x 14y 60 0及其上一点A 2 4 1 设圆N与x轴相切 与圆M外切 且圆心N在直线x 6上 求圆N的标准方程 2 设平行于OA的直线l与圆M相交于B C两点 且BC OA 求直线l的方程 3 设点T t 0 满足 存在圆M上的两点P和Q 使得 求实数t的取值范围 解析圆M的标准方程为 x 6 2 y 7 2 25 所以圆心M 6 7 半径为5 1 由圆心N在直线x 6上 可设N 6 y0 因为圆N与x轴相切 与圆M外切 所以0 y0 7 于是圆N的半径为y0 从而7 y0 5 y0 解得y0 1 因此 圆N的标准方程为 x 6 2 y 1 2 1 2 因为直线l OA 所以直线l的斜率为 2 设直线l的方程为y 2x m 即2x y m 0 则圆心M到直线l的距离d 因为BC OA 2 而MC2 d2 所以25 5 考点一直线方程1 2018湖北四地七校联考 6 已知函数f x asinx bcosx a 0 b 0 若f f 则直线ax by c 0的倾斜角为 A B C D 三年模拟 A组2016 2018年高考模拟 基础题组 答案D由f f知函数f x 的图象关于x 对称 所以f 0 f 所以a b 由直线ax by c 0知其斜率k 1 所以直线的倾斜角为 故选D 2 2017河北五校联考 5 直线ax y 3a 1 0恒过定点M 则直线2x 3y 6 0关于M点对称的直线方程为 A 2x 3y 12 0B 2x 3y 12 0C 2x 3y 12 0D 2x 3y 12 0 答案D由ax y 3a 1 0 可得a x 3 y 1 0 令可得x 3 y 1 M 3 1 M不在直线2x 3y 6 0上 设直线2x 3y 6 0关于M点对称的直线方程为2x 3y c 0 c 6 则 解得c 12或c 6 舍去 所求方程为2x 3y 12 0 故选D 3 2018河南八市质检 14 已知直线l1与直线l2 4x 3y 1 0垂直且与圆C x2 y2 2y 3相切 则直线l1的方程是 答案3x 4y 14 0或3x 4y 6 0 解析圆C的方程为x2 y 1 2 4 圆心为 0 1 半径r 2 由已知可设直线l1的方程为3x 4y c 0 则 2 解得c 14或c 6 即直线l1的方程为3x 4y 14 0或3x 4y 6 0 4 2017豫北重点中学4月联考 14 已知直线l在两坐标轴上的截距相等 且点A 1 3 到直线l的距离为 则直线l的方程为 答案y 7x或y x或x y 2 0或x y 6 0 解析当直线过原点时 设直线方程为y kx 由点A 1 3 到直线l的距离为 得 解得k 7或k 1 此时直线l的方程为y 7x或y x 当直线不过原点时 设直线方程为x y a 由点A 1 3 到直线l的距离为 得 解得a 2或a 6 此时直线l的方程为x y 2 0或x y 6 0 综上所述 直线l的方程为y 7x或y x或x y 2 0或x y 6 0 考点二圆的方程1 2018广东珠海四校4月联考 8 已知圆C与直线x y 0及x y 4 0都相切 圆心在直线x y 0上 则圆C的标准方程为 A x 1 2 y 1 2 2B x 1 2 y 1 2 2C x 1 2 y 1 2 2D x 1 2 y 1 2 2 答案B由题意设圆心坐标为 a a 则有 即 a a 2 解得a 1 故圆心坐标为 1 1 半径r 所以圆C的标准方程为 x 1 2 y 1 2 2 故选B 2 2017豫北名校4月联考 4 圆 x 2 2 y2 4关于直线y x对称的圆的方程是 A x 2 y 1 2 4B x 2 y 2 4C x2 y 2 2 4D x 1 2 y 2 4 答案D设圆 x 2 2 y2 4的圆心 2 0 关于直线y x对称的点的坐标为 a b 则有解得a 1 b 从而所求圆的方程为 x 1 2 y 2 4 故选D 3 2017广东七校联考 6 圆x2 y2 2x 6y 1 0关于直线ax by 3 0 a 0 b 0 对称 则 的最小值是 A 2B C 4D 答案D由圆x2 y2 2x 6y 1 0知其标准方程为 x 1 2 y 3 2 9 圆x2 y2 2x 6y 1 0关于直线ax by 3 0 a 0 b 0 对称 该直线经过圆心 1 3 即 a 3b 3 0 a 3b 3 a 0 b 0 a 3b 当且仅当 即a b时取等号 故选D 4 2018河南新乡二模 15 若圆C x2 n的圆心为椭圆M x2 my2 1的一个焦点 且圆C经过M的另一个焦点 则圆C的标准方程为 答案x2 y 1 2 4 解析 圆C的圆心为 m 又圆C经过M的另一个焦点 则圆C经过点 0 1 从而n 4 故圆C的标准方程为x2 y 1 2 4 1 2018河南豫西五校联考 7 在平面直角坐标系xOy中 以点 0 1 为圆心且与直线x by 2b 1 0相切的所有圆中 半径最大的圆的标准方程为 A x2 y 1 2 4B x2 y 1 2 2C x2 y 1 2 8D x2 y 1 2 16 B组2016 2018年高考模拟 综合题组 时间 35分钟分值 55分 一 选择题 每题5分 共15分 答案B由题意可得圆心 0 1 到直线x by 2b 1 0的距离d 当且仅当b 1时取等号 所以半径最大的圆的半径r 此时圆的标准方程为x2 y 1 2 2 选B 思路分析利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d 利用基本不等式求距离的最大值 即为最大圆的半径 进而得其标准方程 一题多解直线x by 2b 1 0过定点P 1 2 如图 圆与直线x by 2b 1 0相切于点P时 圆的半径最大 为 此时圆的标准方程为x2 y 1 2 2 故选B 2 2018江西新余五校4月联考 8 已知圆O x2 y2 9 过点C 2 1 的直线l与圆O交于P Q两点 当 OPQ的面积最大时 直线l的方程为 A x y 3 0或7x y 15 0B x y 3 0或7x y 15 0C x y 3 0或7x y 15 0D x y 3 0或7x y 15 0 答案D当直线l的斜率不存在时 l的方程为x 2 则P Q的坐标为 2 2 所以S OPQ 2 2 2 当直线l的斜率存在时 设l的方程为y 1 k x 2 则圆心到直线PQ的距离d 由平面几何知识得 PQ 2 S OPQ PQ d 2 d 当且仅当9 d2 d2 即d2 时 S OPQ取得最大值 因为2 所以S OPQ的最大值为 此时 解得k 1或k 7 此时直线l的方程为x y 3 0或7x y 15 0 故选D 思