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第十九讲解直角三角形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.(2017宜宾中考)如图,为了测量某条河的宽度,现在河边的一岸边任意取一点A,又在河的另一岸边取两点B、C,测得30,45,量得BC长为100 m.求河的宽度.(结果保留根号)解:过点A作ADBC于点D.45,ADC90,ADDC.设ADDCx m,则tan 30,x50(1).答:河的宽度为50(1) m.2.(2018宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,点E在线段BD上,在C点测得点A的仰角为30,点E的俯角也为30,测得B、E间距离为10 m,立柱AB高30 m.求立柱CD的高.(结果保留根号)解:过点C作CHAB于点H,则四边形HBDC为矩形,BDCH.由题意,得ACH30,CED30.设CDx m,则AH(30x)m.在RtAHC中,HC(30x),则BDCH(30x),ED(30x)10.在RtCDE中,tan CED,解得x15.答:立柱CD的高为 m.宜宾中考考点梳理锐角三角函数1.锐角三角函数的定义在RtABC中,C90,ABc,BCa,ACb正弦sin A余弦cos A正切tan A2.特殊角的三角函数值三角函数锐角304560sin cos tan 1解直角三角形3.解直角三角形常用的关系在RtABC中,C90三边关系a2b2c2两锐角关系AB90边角关系sin Acos Bcos Asin Btan A4.解直角三角形的应用仰角、俯角在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角,视线与水平线的夹角叫做俯角.(如图)坡度(坡比)、坡角坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i;坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作,itan (如图)方位角物体运动的方向与正北或正南方向之间的夹角称为方位角.点A位于点O的北偏东30方向,点B位于点O的南偏东60方向,点C位于点O的北偏西45方向(或西北方向)(如图)【方法点拨】解直角三角形的方法:(1)解直角三角形,当所求元素不在直角三角形中时,应作辅助线构造直角三角形,或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素;(2)解实际问题的关键是构造几何模型,大多数问题都需要添加适当的辅助线,将问题转化为直角三角形中的边角计算问题.1.如图,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是,则sin 的值为(A)A. B. C. D.(第1题图))(第2题图)2.如图,将AOB放置在55的正方形网格中,则tan AOB的值是(B)A. B. C. D.3.已知a、b、c是ABC的A、B、C的对边,且abc1,则cos B的值为(B)A. B. C. D.中考典题精讲精练锐角三角函数概念及求值【典例1】如图,在ABC中,C150,AC4,tan B.(1)求BC的长;(2)利用此图形求tan 15的值.(精确到0.1,参考数据:1.4,1.7,2.2)【解析】(1)过点A作ADBC交BC的延长线于点D,构造RtACD求出CD的长,在RtABD中,求出BD的长,即可得出结果;(2)在BC边上取一点M,使CMAC,连结AM即可解得.【解答】(1)如图,过点A作ADBC,交BC的延长线于点D.在RtADC中,AC4,ACD30,ADAC2,CDACcos 3042.在RtABD中,tan B,BD16.BCBDCD162;(2)如图,在BC边上取一点M,使得CMAC,连结AM.ACB150,AMDMAC15.tan 15tan AMD20.3.运用特殊角三角函数值进行计算【典例2】下列式子错误的是(D)A.cos 40sin 50B.tan 15tan 751C.sin225cos2251D.sin 602sin 30【解析】A.sin 40sin (9050)cos 50,式子正确;B.tan 15tan 75tan 151,式子正确;C.sin225cos2251正确;D.sin 60,sin 30,则sin 602sin 30错误.解直角三角形的应用【典例3】小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图,旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB的位置,测得PBC(BC为水平线),测角仪BD的高度为1 m,则旗杆PA的高度为(A)A. m B. mC. m D. m【解析】在RtPCB中,根据sin 列出方程可解决问题.1.如图,在RtABC中,BAC90,ADBC于点D,则下列结论不正确的是(C)A.sin B B.sin BC.sin B D.sin B2.在RtABC中,C90,cos B,AB10 cm,则BC的长度为(A)A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm3.如图,在ABC中,B90,BC2AB,则cos A.4.在ABC 中,若角A、B满足|cos A|(1 tan B)20,则C的大小是(D)A.45 B.60 C.75 D.1055.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为12,AC3 m,坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB10 m,则旗杆BC的高度为(A)A.5 m B.6 mC.8 m D.(3) m6.(2018遵义中考)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC与地面保持垂直,吊臂AB与水平线的夹角为64,吊臂底部A距地面1.5 m.(计算结果精确到0.1 m,参考数据:sin 640.90,cos 640.44,tan 642.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时,吊臂AB的长为m;(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少?(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解:(1)在RtABC中,BAC64,AC5,AB50.4411.4.吊臂AB的长为11.4 m.故应填:11.4;(2)过点D作DH地面于点H,交水平线于点E.在RtADE中,AD20,DAE64,EH1.5,DEsin 64AD200.9018.0,即DHDEEH18.01.519.5.答:从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m.8
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