2 2 3两条直线的位置关系 1 会通过解方程组发现直线相交 平行 重合的条件 2 会判断两条直线相交 平行和重合 并会求两条直线的交点坐标 3 理解用勾股定理推导两条直线垂直的条件 并能熟练运用这一条件判断两条直线是否垂直 1 2 1 两条直线相交 平行与重合的条件 1 两条直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0的位置关系 可以方程的系数进行判断 方法如下 1 2 1 2 2 两条直线l1 y k1x b1 l2 y k2x b2的位置关系 也可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断 具体判断方法如表所示 1 2 做一做1 直线l1与l2为两条不重合的直线 则下列命题 若l1 l2 则斜率k1 k2 若斜率k1 k2 则l1 l2 若倾斜角 1 2 则l1 l2 若l1 l2 则倾斜角 1 2 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4解析 错 正确 答案 C 1 2 2 两条直线垂直的条件 1 设直线l1 l2的方程分别为A1x B1y C1 0 A2x B2y C2 0 则l1 l2 A1A2 B1B2 0 2 设直线l1 l2的方程分别为y k1x b1 y k2x b2 则l1 l2 k1k2 1 知识拓展与直线l Ax By C 0平行与垂直的直线 若直线l 与l平行 则l 可设为Ax By D 0 若直线l 与l垂直 则l 可设为Bx Ay D 0 过点 x0 y0 且与Ax By C 0平行的直线可表示为A x x0 B y y0 0 过点 x0 y0 且与Ax By C 0垂直的直线可表示为B x x0 A y y0 0 1 2 答案 A 1 2 1 关于直线的对称问题剖析 设直线l Ax By C 0 则 l关于x轴对称的直线方程是Ax B y C 0 l关于y轴对称的直线方程是A x By C 0 l关于原点对称的直线方程是A x B y C 0 l关于直线y x对称的直线方程是Bx Ay C 0 l关于直线y x对称的直线方程是A y B x C 0 l关于点P x0 y0 对称的直线方程是A 2x0 x B 2y0 y C 0 1 2 名师点拨点关于点的对称点 点关于直线的对称点 直线关于点的对称直线 直线关于直线的对称直线问题 其实质都是中点问题与垂直问题的结合 1 2 2 教材中的 思考与讨论 已知直线l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 如何用这两条直线的斜率k1 k2以及b1 b2 判定这两条直线平行或者重合 证明你的结论 并说明与直线y kx b平行的直线可表示为y kx b1 b1 b 剖析 l1 l2的条件是k1 k2 且b1 b2 l1与l2重合的条件是k1 k2 且b1 b2 1 2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 判断两直线的位置关系 例1 判断下列直线的位置关系 1 已知两条直线l1 3x 5y 6 0 l2 6x 10y 3 0 2 已知两条直线l1 3x 6y 14 0 l2 2x y 2 0 分析 利用判断两直线位置关系的条件来求解 可以用斜率形式 也可以用一般形式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思1 1 判断两条直线平行 首先需要判断其斜率相等 斜率存在时 即k1 k2 两条直线斜率相等 则两条直线可能平行也可能重合 还需要再进一步判断截距不相等 即b1 b2 如果两条直线斜率不存在 两条直线为x a1 x a2 只需a1 a2即可 2 判断两直线平行 也可用系数比 注意斜率为零和不存在 2 判断两直线垂直 1 如果斜率都存在 只判断k1k2 1 如果一条直线的斜率不存在 则另一条直线的斜率必等于零 从斜率的角度判断 应注意上面的两种情况 2 利用A1A2 B1B2 0判断 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练1 给出以下四条直线 l1 2x 3y 1 0 l2 6x 4y 1 0 l3 6x 9y 2 0 其中互相平行的直线是 互相垂直的直线是 解析 4条直线的方程可分别化为 显然l1 l3 l2 l4 l1 l2 l1 l4 l3 l2 l3 l4 答案 l1与l3 l2与l4l1与l2 l1与l4 l2与l3 l3与l4 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 利用两直线的位置关系定参数 例2 已知两条直线l1 x my 6 0 l2 m 2 x 3y 2m 0 当m为何值时 直线l1与l2 1 相交 2 平行 3 重合 分析 根据两条直线相交 平行 重合的条件列方程或不等关系求解 解因为直线l1 x my 6 0 直线l2 m 2 x 3y 2m 0 所以A1 1 B1 m C1 6 A2 m 2 B2 3 C2 2m 1 若l1与l2相交 则A1B2 A2B1 0 即1 3 m m 2 0 整理得m2 2m 3 0 解得m 3 且m 1 故当m 3 且m 1时 直线l1与l2相交 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 所以m 3 故当m 3时 直线l1与l2重合 综上所述 1 当m 3 且m 1时 两直线相交 2 当m 1时 两直线平行 3 当m 3时 两直线重合 反思利用两直线的位置关系确定参数值时一定不要忽视特殊情况 即斜率为零或斜率不存在的情况 再者注意对结果进行检验 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练2 若直线ax 2y 0和2x a 1 y 1 0垂直 则实数a的值为 解析 由两条直线垂直 可得a 2 2 a 1 0 解得a 答案 A 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 求与已知直线平行或垂直的直线方程 例3 已知点A 2 2 和直线l 3x 4y 20 0 求 1 过点A和直线l平行的直线方程 2 过点A和直线l垂直的直线方程 分析 本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系 求出所求直线的斜率后用点斜式求解 也可利用直线系方程来求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 即3x 4y 14 0 方法二 设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x 4y m 0 由点A 2 2 在直线l1上 得3 2 4 2 m 0 解得m 14 故直线l1的方程为3x 4y 14 0 2 方法一 设过点A与l垂直的直线为l2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 方法二 设过点A与l垂直的直线l2的方程为4x 3y m 0 因为l2经过点A 2 2 所以4 2 3 2 m 0 解得m 2 故l2的方程为4x 3y 2 0 反思求经过点A x0 y0 与直线l Ax By C 0平行或垂直的直线方程 当l的斜率存在 求垂直直线时 要求斜率不为零 时 可利用直线方程的点斜式求直线方程 也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练3 求经过点A 2 1 且与直线2x ay 10 0垂直的直线l的方程 解 方法一 当a 0时 已知直线化为x 5 此时直线斜率不存在 则所求直线l的斜率为0 因为直线l过点A 2 1 所以直线l的方程为y 1 0 x 2 即y 1 当a 0时 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 即ax 2y 2a 2 0 所求直线l的方程为y 1或ax 2y 2a 2 0 又因为y 1是ax 2y 2a 2 0的一个特例 因此上述两条直线可合写成ax 2y 2a 2 0 方法二 根据题意可设直线l的方程为ax 2y D 0 又因为点A在直线l上 所以2a 2 1 D 0 所以D 2 2a 所以所求直线l的方程为ax 2y 2 2a 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对称问题 例4 光线由点A 1 4 射出 在直线l 2x 3y 6 0上反射 已知反射光线过点 求反射光线所在直线的方程 分析 根据反射规律 反射光线所在直线除了经过点B外 还经过A关于l的对称点A 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思点关于直线的对称问题一般要利用中点坐标公式及直线的垂直来综合解决 至于光的反射问题一定要看清谁做镜面 及入射光与反射光经过的点 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练4 求点P 2 1 关于直线l x 2y 2 0对称的点P 的坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 易错辨析 易错点1 忽视讨论直线斜率不存在的情况致错 例5 当a为何值时 直线x 2ay 1 0和直线 3a 1 x ay 1 0平行 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 易错点2 混淆两直线平行与重合的条件致错 例6 若直线ax 2y 8 0与直线x a 1 y 4 0平行 求a的值 错解 因为两直线平行 所以a a 1 2 1 解得a 2或1 即a的值为 2或1 错因分析 错解只是利用了两直线平行 其斜率相等这一条件 而没有考虑它们的截距是否不相等 这时得到的a的值可能使两条直线重合 因此应牢记两直线平行的条件是 斜率相等 截距不相等 正解 依题意 应有即实数a的值等于1 1 2 3 4 1已知两条直线y ax 2和y a 2 x 1互相垂直 则a等于 A 2B 1C 0D 1解析 两条直线的斜率分别为a和a 2且相互垂直 即a a 2 1 解得a 1 答案 D 1 2 3 4 2过点 1 0 且与直线x 2y 2 0平行的直线方程是 A x 2y 1 0B x 2y 1 0C 2x y 2 0D x 2y 1 0解析 与直线x 2y 2 0平行的直线方程可设为x 2y c 0 将点 1 0 代入解得c 1 故直线方程为x 2y 1 0 答案 A 1 2 3 4 3经过点B 3 0 且与直线2x y 5 0垂直的直线方程为 解析 设所求直线为x 2y m 0 又其经过点 3 0 所以3 2 0 m 0 得m 3 故所求直线为x 2y 3 0 答案 x 2y 3 0 1 2 3 4 4求和直线4x 3y 5 0平行且在x轴上的截距为 3的直线方程 解与直线4x 3y 5 0平行的直线方程可设为4x 3y c 0 令y 0 得