3 2 1 直线线的方向向量与直线线的向量方 程 第三章 3 2 直线的方向向量与直线的向量方 程 学习目标 XUEXIMUBIAO 1 了解直线的方向向量 了解直线的向量方程 2 会用向量方法证明线线 线面 面面的平行 3 会用向量证明两条直线垂直 4 会利用向量求两条直线所成的角 NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习习 题题型探究 达标检测标检测 1自主学习 PART ONE 上面三个向量等式都叫做空间直线的 向量a称为该直线的方向 向量 知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置 1 用向量表示直线或点在直线上的位置 ta 向量参数方程 知识点二 用向量方法证明直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平 面平行 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则由向量共线的条件 得l1 l2或l1 与l2重合 2 已知两个不共线向量v1 v2与平面 共面 一条直线l的一个方向向量为v 则由共面向量定理 可得 l 或l在 内 3 已知两个不共线向量v1 v2与平面 共面 则由两平面平行的判定与性质 得 或 与 重合 v1 v2 存在两个实数x y 使v xv1 yv2 v1 且v2 知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 设两条直线所成的角为 v1和v2分别是l1和l2的方向向量 则l1 l2 cos 2 求两直线所成的角应注意的问题 在已知的两条直线上 或同方向上 取两条直线的方向向量v1 v2 所以 cos v1 v2 但要注意 两直线的夹角与 v1 v2 并不完全相同 当 v1 v2 为钝角时 应取其 作为两直线的夹角 v1 v2 cos v1 v2 补角 1 直线l的方向向量是唯一的 2 若两条直线平行 则它们的方向向量的方向相同或相反 3 若向量a是直线l的一个方向向量 则向量ka也是直线l的一个方向向量 4 两直线的方向向量平行 则两直线平行 两直线的方向向量垂直 则两直 线垂直 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 例1 已知点A 2 4 0 B 1 3 3 如图 以 的方向为正向 在直线AB上建立 一条数轴 P Q为轴上的两点 且分别满足条件 1 AP PB 1 2 求点P的坐标 题型一 空间中点的位置确定 设点P坐标为 x y z 则上式换用坐标表示 得 2 AQ QB 2 1 求点Q的坐标 解 因为AQ QB 2 1 设点Q的坐标为 x y z 则上式换用坐标表示 得 x y z 2 4 0 2 1 3 3 0 2 6 即x 0 y 2 z 6 因此 Q点的坐标是 0 2 6 反思感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得 解析 设C x y z 题型二 向量方法处理平行问题 例2 如图 已知正方体ABCD A B C D 点M N分别是面对角线 A B与面对角线A C 的中点 求证 MN 侧面AD MN AD 并且 MN 因为MN不在平面AD 内 所以MN 平面AD 反思感悟 1 直线与直线平行 直线与平面平行的向量证法根据是空间向 量共线 共面定理 2 利用直线的方向向量证明直线与直线平行 直线与平面平行时 要注意 向量所在的直线与所证直线或平面无公共点 跟踪训练2 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 3 AD 4 AA1 2 点M在 棱BB1上 且BM 2MB1 点S在DD1上 且SD1 2SD 点N R分别为A1D1 BC的中点 求证 MN RS 方法二 如图所示 建立空间直角坐标系Axyz 则根据题意得 题型三 两直线所成的角的求解 例3 已知三棱锥O ABC 如图 OA 4 OB 5 OC 3 AOB BOC 60 COA 90 M N分别是棱OA BC的中点 求直线MN与AC 所成角的余弦值 反思感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异 向量所成角的范围是 0 而异面直线所成角的范围是 故异面直线所成角的余弦值一定大于或 等于0 跟踪训练3 长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 4 BC BB1 2 E F分别 是平面A1B1C1D1与平面B1BCC1的中心 求异面直线AF与BE所成角的余弦值 解 如图 以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz 则A 2 0 0 B 2 4 0 C1 0 4 2 A1 2 0 2 E 1 2 2 F 1 4 1 3达标检测 PART THREE 1 若直线l1 l2的方向向量分别为a 1 2 2 b 2 3 2 则 A l1 l2 B l1 l2 C l1 l2相交但不垂直 D 不能确定 12345 解析 a b 1 2 2 3 2 2 0 a b l1 l2 12345 2 设l1的方向向量a 1 3 2 l2的方向向量b 4 3 m 若l1 l2 则m 等于 解析 因为l1 l2 所以a b 0 即1 4 3 3 2 m 0 3 若A 1 0 1 B 1 4 7 在直线l上 则直线l的一个方向向量为 A 1 2 3 B 1 3 2 C 2 1 3 D 3 2 1 12345 4 已知向量a 4 2m m 1 m 1 b 4 2 2m 2 2m 若a b 则实数 m的值为 A 1 B 3 C 1或3 D 以上答案都不正确 12345 12345 解析 因为b 4 2 2m 2 2m 0 所以 a b的充要条件是a b 代入4 2m 4 得m 3 12345 5 已知直线l1的一个方向向量为 7 3 4 直线l2的一个方向向量为 x y 8 且l1 l2 则x y 146 x 14 y 6 课堂小结 KETANGXIAOJIE 1 利用向量可以表示直线或点在直线上的位置 2 线线平行 线面平行 面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题 证 明依据是空间向量共线 共面定理 3 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表示几何量 共分三步 1 建 立立体几何与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中所涉及的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 线 面 之间的位置关系 3 根据运算结果的几何意义来解释相关问题