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第1讲 速算与巧算在进行加减运算时,为了又快又准确,除了要熟练地掌握计算法则外,还需要掌握一些巧算方法。加减法的巧算主要是“凑整”,就是将算式中的数分成若干组,使每组的运算结构都是整十、整百、整千的数,再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。一、先讲加法的巧算,加法具有以下两个运算律:加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。即:a+b=b+a其中,a,b各表示任意数字。例如,5+6=6+5一般地,多个数相加,任意改变相加的顺序,其和不变。例如,a+b+c+d=d+b+c+a=其中,a,b,c,d各表示任意一数。加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数,或者,先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变。即:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)其中,a,b,c,各表示任意一数。例如:4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)一般地,多个数相加,可先对其中几个数相加,再与其他数相加。把加法交换律和加法结合律综合起来运用,就得到加法的一些巧算方法。1、凑整法。先把加在一起为整十、整百、整千的加数加起来,然后再与其他的数相加。例1:计算(1)23+54+18+47+82(2) 1350+49+68+51+32+16502、借数凑整法有些题目直观上凑数不明显,这时可“借数”凑整。例如,计算976+85,可在85中借出24, 即把85拆分成24+61,这样就可以先用976加上24,“凑”成1000,然后再加61。例2:计算(1)57+64+238+46(2)4993+3996+5997+848二、减法和加减法混合运算的巧算。加、减法有如下一些重要性质:1、在连减或加、减混合运算中,如果算式中没有括号,那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如:a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b2、在加、减法混合运算中,去 括号时,如果括号前面是“+”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号不变,如果括号前面是“-”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。例如:a+(b-c)=a+b-ca-(b+c)=a-b-ca-(b-c)=a-b+c3、在加、减法混合运算中,添括号时,如果添加的括号前面是“+”号,那么括号内的数原来的运算符号不变,如果添加的括号前面是“-”号,那么括号内的数的原来的运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。例如:a+b-c=a+(b-c)a-b+c=a-(b+c)a-b-c=a-(b+c)灵活运用这些性质,可得减法或加、减混合运算的一些简便方法。三、分组凑整法例3 计算 (1)875-364-236(2)1847-1928+628-136-64(3)1348-234-76+2234-48-24例4 计算(1)512-382(2)6854-876-97(3)397-146+288-339四、加法中的巧算1.什么叫“补数”?两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。如:1+9=10,3+7=10,2+8=10,4+6=10,5+5=10。又如:11+89=100,3367=100,22+78=100,44+56=100,55+45=100,在上面算式中,1叫9的“补数”;89叫11的“补数”,11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”来呢?一般来说,可以这样“凑”数:从最高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10。如: 8765512345, 4680253198,8736212638,下面讲利用“补数”巧算加法,通常称为“凑整法”。2.互补数先加。例1 巧算下面各题:36+87+6499+136101 136197263928解:式=(3664)87 =10087=187 式=(99101)136 =200+136=336 式=(1361639)(97228) =2000+1000=30003.拆出补数来先加。例2 188873 548996 9898203解:式=(188+12)+(873-12)(熟练之后,此步可略)200+861=1061式=(548-4)(9964)=544+1000=1544式=(9898102)(203-102)=10000+101=101014.竖式运算中互补数先加。如:五、减法中的巧算1.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。例 3 300-73-27 1000-90-80-20-10解:式= 300-(73 27) = 300-100=200 式=1000-(90802010) =1000-200=8002.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。例4 4723-(723189) 2356-159-256解:式=4723-723-189 =4000-189=3811 式=2356-256-159 =2100-159 =19413.利用“补数”把接近整十、整百、整千的数先变整,再运算(注意把多加的数再减去,把多减的数再加上)。例 5 506-397 323-189 467997 987-178-222-390解:式=5006-400+3(把多减的 3再加上) =109式=323-200+11(把多减的11再加上) =123+11134式=4671000-3(把多加的3再减去) 1464式=987-(178222)-390 987-400-400+10=197六、加减混合式的巧算1.去括号和添括号的法则在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都要改变,“+”变“-”,“-”变“+”,即:a(bcd)abcda -(bad)a-b-c-da -(b-c)a-b+c例6 100(102030) 100-(1020+3O) 100-(30-10)解:式=100102030=160式=100-10-20-30=40式=100-301080例7 计算下面各题: 100102030 100-10-20-30 100-3010解:式=100(10+20+30)=10060=160式=100-(1020+30)100-60=40式=100-(30-10)=100-20=802.带符号“搬家”例8 计算 32546-12554解:原式=325-12546+54(325-125)+(4654)=200+100300注意:每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46,-125,+54.而325前面虽然没有符号,应看作是+325。3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉例9 计算9+2-93解:原式=9-92+3=54.找“基准数”法几个比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准数”。例10 计算 78+768382+77807985640七、乘法中的巧算1.两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘.为此,要牢记下面这三个特殊的等式:52=10 254=100 1258=1000例1 计算123425 125282554解:式=123(425)=12310012300式=(1258)(254)(52)=100010010=10000002.分解因数,凑整先乘。例 2计算 2425 56125 1255325解:式=6(425)=6100=600式=78125=7(8125)=71000=7000式=1255485=(1258)(554)=1000100=1000003.应用乘法分配律。例3 计算 17534175666712+67356752+6解:式=175(34+66)=175100=17500式=67(1235521) 671006700(原式中最后一项67可看成 671)例4 计算 123101 12399解:式=123(1001)=12310012312300123=12423式=123(100-1)=12300-123=121774.几种特殊因数的巧算。例5 一个数10,数后添0; 一个数100,数后添00; 一个数1000,数后添000;以此类推。如:1510=150 15100=1500 15100015000例6 一个数9,数后添0,再减此数; 一个数99,数后添00,再减此数; 一个数999,数后添000,再减此数; 以此类推。如:129120-12108129912001211881299912000-12=11988例7 一个偶数乘以5,可以除以2添上0。如:6530165801165=580。例8 一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”。如 22221124442例9 一个偶数乘以15,“加半添0”.2415(24+12)10360因为2415 24(10+5)24(10102)=2410+24102(乘法分配律)2410+24210(带符号搬家)(24+242)10(乘法分配律)例10 个位为5的两位数的
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