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6个解答题综合仿真练(四)1.如图,四棱锥PABCD中, 底面ABCD为菱形,且PA底面ABCD,PAAC,E是PA的中点,F是PC的中点(1)求证:PC平面BDE;(2)求证:AF平面BDE.证明:(1)连结OE,因为O为菱形ABCD对角线的交点,所以O为AC的中点又因为E为PA的中点,所以OEPC.又因为OE平面BDE,PC平面BDE,所以PC平面BDE.(2)因为PAAC,PAC是等腰三角形,又F是PC的中点,所以AFPC.又OEPC,所以AFOE.又因为PA底面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又因为AC,BD是菱形ABCD的对角线,所以ACBD.因为PAACA,所以BD平面PAC,因为AF平面PAC,所以AFBD.因为OEBDO,所以AF平面BDE.2在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos A,tan (BA).(1)求tan B的值;(2)若c13,求ABC的面积解:(1)在ABC中,由cos A,知sin A,所以tan A,所以tan Btan (BA)A3.(2)在ABC中,由tan B3,知B是锐角,所以sin B,cos B,则sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理,得b15,所以ABC的面积Sbcsin A151378.3已知椭圆M:1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,一个焦点为F(1,0),点F到相应准线的距离为3.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点(1)求椭圆M的方程;(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1S2|的最大值解:(1)由焦点F(1,0)知c1,又c3,所以a24,从而b2a2c23.所以椭圆M的方程为1.(2)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x1,此时S1S2,|S1S2|0;若直线l的斜率存在,可设直线l的方程为yk(x1),k0,C(x1,y1),D(x2,y2)联立消去y,得(34k2)x28k2x4k2120,所以x1x2.此时|S1S2|AB|y1|y2|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k|(x1x2)2|2|k|2|k|.因为k0,所以|S1S2|,当且仅当4|k|,即k时取等号所以|S1S2|的最大值为.4.如图,矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图,点E在AB上,在梯形BCDE区域内部展示文物,DE是玻璃幕墙,游客只能在ADE区域内参观在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头,MPN为监控角,其中M,N在线段DE(含端点)上,且点M在点N的右下方经测量得知:AD6米,AE6米,AP2米,MPN.记EPM(弧度),监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米(1)求S关于的函数关系式,并写出的取值范围;(2)求S的最小值解:(1)法一:在PME中,EPM,PEAEAP4米,PEM,PME,由正弦定理得,所以PM, 在PNE中,由正弦定理得,所以PN, 所以PMN的面积SPMPNsinMPN,当M与E重合时,0;当N与D重合时,tanAPD3,即APD,所以0.综上可得,S,. 法二:在PME中,EPM,PEAEAP4米,PEM,PME,由正弦定理得,所以ME, 在PNE中,由正弦定理得,所以NE,所以MNNEME,又点P到DE的距离为d4sin2, 所以PMN的面积SMNd,当M与E重合时,0;当N与D重合时,tanAPD3,即APD,所以0.综上可得,S,. (2)当2,即时,S取得最小值为8(1). 所以可视区域PMN面积的最小值为8(1)平方米5设a0且a1,函数f(x)axx2xln aa.(1)当ae时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)的最小值;(3)指出函数f(x)的零点个数,并说明理由解:(1)当ae时,f(x)exx2xe,f(x)ex2x1.设g(x)ex2x1,则g(0)0,且g(x)ex20.所以g(x)在(,)上单调递增,当x0时,g(x)g(0)0;当x0时,g(x)0时,f(x)0;当x0时,f(x)1时,若x0,则ax1,ln a0,所以f(x)0,若x0,则ax0,所以f(x)0.当0a0,则ax1,ln a0,若x1,ln a0,所以f(x)0,a1,f(x)min1a.若1a0,即0a0,函数f(x)不存在零点若1a1时,f(x)min1aa2aln aaa(aln a1)令t(a)aln a1(a1),t(a)10,所以t(a)在(1,)上单调递增;所以t(a)t(1)0.所以f(a)0.故f(x)在(0,a)上有一个零点又f(a)aaa2aln aaa2aa(a1)0,故f(x)在(a,0)上有一个零点所以f(x)在(,0)上和(0,)上各有一个零点,即f(x)有2个零点综上,当0a1时,函数f(x)有2个零点6已知数列an的通项公式an2n(1)n,nN*.设an1,an2,ani(其中n1n2ni,iN*)成等差数列(1)若i3.当n1,n2,n3为连续正整数时,求n1的值;当n11时,求证:n3n2为定值;(2)求i的最大值解:(1)依题意,an1,an11,an12成等差数列,即2an11an1an12,从而22n11(1)n112n1(1)n12n12(1)n12,当n1为奇数时,解得2n14,不存在这样的正整数n1;当n1为偶数时,解得2n14,所以n12.证明:依题意,a1,an2,an3成等差数列,即2an2a1an3,从而22n2(1)n232n3(1)n3,当n2,n3均为奇数时,2n22n311,左边为偶数,故矛盾;当n2,n3 均为偶数时,2n212n321,左边为偶数,故矛盾;当n2为偶数,n3奇数时,2n22n313,左边为偶数,故矛盾;当n2为奇数,n3偶数时,2n212n30,即n3n21.(2)设as,ar,at(srt)成等差数列,则2arasat,即22r(1)r2s(1)s2t(1)t,整理得,2s2t2r1(1)s(1)t2(1)r,若tr1,则2s(1)s3(1)r,因为2s2,所以(1)s3(1)r只能为2或4,所以s只能为1或2;若tr2,则2s2t2r12s2r22r12242310,(1)s(1)t2(1)r4,故矛盾,综上,只能a1,ar,ar1成等差数列或a2,ar,ar1成等差数列,其中r为奇数,从而i的最大值为3.8
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