31空间中向量的概念和运算第一课时空间中向量的概念和线性运算读教材填要点1向量的概念既有大小又有方向的量称为向量2用有向线段表示向量要表示向量a，可以从任意一点A出发作有向量线段AB，使AB的方向与a相同，长度|AB|等于a的模，则有向线段AB表示向量a，记为a .3空间向量加法的运算律(1)abba.(加法交换律)(2)(ab)ca(bc)(加法结合律)4向量与实数相乘(1)向量与实数相乘：任何一个向量a都可以看作某个平面上的向量，它与实数相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行(2)(ab)ab.(对向量加法的分配律)(12)a1a2a.(对实数加法的分配律)小问题大思维1空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样2在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面3空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的4两个向量a，b共线是两个向量共面的什么条件？提示：a，b共线时， 这两个向量一定共面；若a与b共面，a与b所在的直线可能相交，所以a与b共线是a与b共面的充分不必要条件空间向量的线性运算 已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：(1)xy；(2)xy.自主解答如图，(1)()，xy.(2)2，2.又2，2.从而有2(2)22.x2，y2.本例中，若xyz，则x，y，z为何值？解：，x，y1，z1.利用多边形法则是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握1.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) ；(2) ；(3).解：(1).(2)因为M是BB1的中点，所以.又，所以.(3).向量，如图所示共线问题 空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且， .判断与是否共线？若共线，并判断四边形EFGH的形状自主解答根据题意， ，又，.，又，().由得，.与共线EH，且|.又点F不在直线EH上，EHFG且|EH|FG|.四边形EFGH为梯形判断空间图形中两个向量共线的步骤为：(1)作出空间图形；(2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a与b；(3)化简得出axb，从而得出ab，即a与b共线本例中，如果F，G分别是边CB，CD的中点，你能判断出EFGH是什么四边形吗？解：若F，G分别是边BC，CD的中点，.，又，().由，得，且|.又点F不在直线EH上，EHFG且|EH|FG|.四边形EFGH是平行四边形2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且 2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明：设a，b，c.2，.b，()()abc.abc.又bcaabc，.所以E，F，B三点共线共面问题 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足.(1)判断， ， 三个向量是否共面；(2)判断M是否在平面ABC内自主解答(1)3，()().向量，共面(2)由(1)向量，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，M，A，B，C共面，即M在平面ABC内利用向量法解决向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件向量共面的充要条件的实质是：共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值3已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面(2)BD平面EFGH.证明：如图，连接EG，BG.(1)因为()，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面(2)因为，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知斜三棱柱ABCABC中，点M，N分别在面对角线AC，棱BC上，且AMkAC，BNkBC(0k1)求证：MN平面ABBA.巧思要证明MN平面ABBA，只要证明向量可以用平面ABBA内的两个不共线的向量线性表示即可，但要注意指明MN不在平面ABBA内妙解因为M在AC上，且AMkAC，所以kkk，又kk()(1k)k，所以(1k)kkk(1k)k.因为与不共线，由共面向量定理，可知，共面因为0k1，所以MN平面ABBA，所以MN平面ABBA.1设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是()A平行四边形B空间四边形C等腰梯形D矩形解析：，.且|.四边形ABCD为平行四边形答案：A2已知向量，满足|，则()A BC与同向D与同向解析：由条件可知，C在线段AB上，故D正确答案：D3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式：()；()；()；()中，运算结果为向量的共有()A1个B2个C3个D4个解析：()；()；()；().答案：D4对于空间中任意四点A，B，C，D都有等于_解析：由向量加(减)法的三角形法则可知.答案： 5已知正方体ABCDABCD，则下列三个式子中：；.其中正确的有_解析：，正确；显然正确；()()0，错误答案：6.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，CD2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点证明：直线EE1平面FCC1.证明：由题意知2，F是AB的中点，四边形AFCD是平行四边形，.E，E1分别是AD，AA1的中点，又与不共线，根据共面向量定理可知，共面EE1不在平面FCC1内，直线EE1平面FCC1.一、选择题1已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则()等于()A BC D.解析：()(2).答案：A2.如图所示空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则等于()A. B3C3 D2解析：()23.答案：B3给出下列命题：若A，B，C，D是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若，共线，则ABCD；对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若x y z (其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面其中不正确命题的个数是()A1B2C3D4解析：显然正确；若a，b共线，则|a|b|ab|或|ab|a|b|，故错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故错误；只有当xyz1时，P，A，B，C四点才共面，故错误故选C.答案：C4已知两非零向量e1，e2不共线，设ae1e2(，R且220)，则()Aae1Bae2Ca与e1，e2共面D以上三种情况均有可能解析：当0，0时，ae2，则ae2；当0，0时，ae1，则ae1；当0，0时，a与e1，e2共面答案：D二、填空题5化简：_.解析：原式()().答案： 6设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是_解析：5e14e2，e12e2，(5e14e2)(e12e2)6e16e2，A，B，D三点共线，e1ke2(6e16e2)，e1，e2是不共线向量，k1.答案：17.如图，已知空间四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_(用向量a，b，c表示)解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则(a2c)(5a6b8c)3a3b5c.答案：3a3b5c8在空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，给出以下向量：3a4b3c；4a3b3c；3a3b4c；abc.其中与平行的向量是_(只填相应序号即可)解析：由已知得()abc.所以(4a3b3c)，故适合答案：三、解答题9.如图，H为四棱锥PABCD的棱PC的三等分点，且PHHC，点G在AH上，AGmAH.四边形ABCD为平行四边形若G，B，P，D四点共面，求实数m的值解：连接BD，BG， 且 ，.，.，()PD.又，